Абрам Фет - Катастрофы в природе и обществе

В целом по стране первая партия наберет

голосов, а вторая партия

голосов.

Естественно предположить, что доли голосов C 1(х) и C 2(х) для всех групп населения определяются программами партий, так что они зависят от функций m 1(x), m 2(x) и, возможно, отдельно от х. Таким образом, мы имеем два функционала:

причем номер партии не входит в число параметров, влияющих на предпочтения избирателей: они расчетливы, но вне бюджетных вопросов "аполитичны".

Далее, примем еще одно упрощающее предположение: допустим, что голосование группы (х, х + dx) зависит только от размера ассигнований, предусмотренных для этой группы, но не от ассигнований для других. Это предположение "локальности" означает, конечно, равнодушие к интересам других, если они не отражаются немедленно на собственных интересах субъекта. Математически оно выражается в том, что функционалы C 1, C 2выражаются через функцию трех переменных С в виде

По определению функционалов C 1, C 2, партии наберут, соответственно, следующее число голосов:

Задача первой партии состоит в достижении максимума функционала

при дополнительных условиях

Обозначая разность C(x,m 1(x),m 2(x)) - C (x, m 2(x), m 1(x)) через q (x, m 1(x), m 2(x)) , получаем уравнения Лагранжа

где функция q(x, m 1, m 2) антисимметрична относительно двух последних аргументов.

В виду полной симметрии задачи относительно обеих партий, естественно считать, что ее решения для обеих совпадают, то есть

m 1(x) = m 2(x) = m(x)

тогда для определения получаем уравнение

Чтобы составить себе представление о свойствах решения, прибегнем к обычному в таких случаях моделированию: рассмотрим некоторое правдоподобное выражение функции С. Ясно, что если отношение m 1/m 2стремится к нулю, то С тоже стремится к нулю, так как никто не будет голосовать за партию, которая ничего не обещает. Если же m 1/m 2стремится к бесконечности, то С стремится к единице, потому что вторая партия оказывается в этом случае бесперспективной. Можно считать поэтому, что зависимость С от отношения m 1/m 2имеет график вида, изображенного на рисунке 4.

Рис.4

Это наводит на мысль задать модельную функцию С(х, m 1, m 2) в виде

откуда имеем

и

Поскольку мы предположили, что для искомого решения m 1(x) = m 2(x), то есть отношение этих функций равно 1, то уравнение Лагранжа принимает вид

то есть партийная программа обеих партий будет иметь вид

m(x) = K x P(x) x a(x),

с коэффициентом пропорциональности K, определяемым бюджетными ограничениями.

Если реакции избирателей всех групп на предлагаемый бюджет одинаковы, то функция а(х) постоянна. В этом случае каждая группа получит ассигнования, пропорциональные ее численности. В более реалистическом случае группы реагируют различно, и множитель а(х) определяет "силу нажима" группы с характеристикой х, то есть ее избирательное влияние, определяющее вид основного функционала реакции.

Заметим еще, что при выбранном "модельном" виде этого функционала полученное решение, как можно показать, устойчиво, в том смысле, что передача некоторой суммы от группы (х, х + dx) группе (y, y + dy) изменяет значение N 1– N 2лишь на бесконечно малую высшего порядка и, следовательно, не приносит выгоды. Можно привести примеры функционалов, для которых дело обстоит иначе.

Мы хотели бы привести в заключении нашей книги простейшую модель человеческой активности. При всей ее примитивности, она позволяет выделить два крайних типа человеческого поведения: зависимый, или служебный, и автономный, или творческий. Конечно, в чистом виде они не встречаются и представляют идеализацию реального поведения человека, в котором служебные и творческие мотивы образуют сложную смесь с различным отношением составляющих. Имея в виду реальности нашего времени, мы принимаем в этой книге упрощенную концепцию человека: это человек Адама Смита, «честно соблюдающий правила игры», но преследующий только собственную выгоду, причем эта выгода всегда допускает денежное выражение. Таким образом, это человек, управляемый единственным числовым параметром, или, если угодно, «одномерный человек». Мир, населенный такими людьми, был бы невыносимо скучен и, как можно предвидеть, постепенно приходил бы в упадок. Он не продержался бы долго, потому что у индивида, соблюдающего «правила игры», должны быть и другие мотивы, кроме личной выгоды – как это хорошо понимал еще Адам Смит, автор трактата по философии нравственности. Если у человека нет других мотивов, то он перестанет соблюдать эти правила, пытаясь их обойти, что можно уже наблюдать в наше время.