Шинтан Яу - Теория струн и скрытые измерения Вселенной

Это, впрочем, еще не объясняет механизм работы метрики. Рассмотрим весьма простой пример, имеющий место для одного комплексного или двух вещественных измерений, — метрику Пуанкаре единичного круга, центр которого находится в точке плоскости с координатами (0, 0). Этот круг представляет собой набор точек ( x , y ), удовлетворяющих неравенству x 2+ y 2< 1 . Формально такой круг называют «открытым», поскольку он не включает в себя свою границу — окружность, определяемую выражением x 2+ y 2= 1 . Поскольку рассматриваемый случай относится к двум измерениям, тензор метрики Пуанкаре представляет собой матрицу 2×2. В каждой из ячеек этой матрицы стоит коэффициент вида G ij , где i — номер строки, j — номер столбца. Таким образом, матрица будет иметь вид:

G 11G 12

G 21G 22

За счет симметрии, о которой шла речь выше, G 12 будет равно G 21 . Для метрики Пуанкаре эти два «недиагональных» элемента по определению равны нулю. Равенство двух других элементов — G 11 и G 22 не обязательно, но в случае метрики Пуанкаре оно имеет место: оба эти элемента по определению равны 4/(1-x 2-y 2) 2. Любой паре координат x и y , выбранной внутри единичного круга, метрический тензор ставит в соответствие определенный набор коэффициентов. Так, например, для x = 1/2 и y = 1/2 элементы G 11 и G 22 будут оба равны 16, оставшиеся же два коэффициента равны нулю для любой точки единичного круга.

Что же делать дальше с полученными числами? И как эти коэффициенты соотносятся с расстоянием? Нарисуем внутри единичного круга небольшую кривую, однако рассмотрим ее не как неподвижный объект, а как траекторию частицы, движущейся из точки А в точку В. Чему же равна длина этой траектории для данной метрики Пуанкаре?

Для того чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим кривую s и разделим ее на крошечные линейные участки — настолько крошечные, насколько это только можно представить, — и сложим их длины между собой. Длину каждого из линейных участков можно найти при помощи теоремы Пифагора. Для начала определим величины x , y и s параметрически, то есть представим их как функции времени: x = X(t) , y = Y(t) и s = S(t) . Производные этих функций — X'(t) и Y'(t ) — можно рассматривать как катеты прямоугольного треугольника; их подстановка в теорему Пифагора √([X'(t)] 2+[Y'(t)] 2) дает значение производной S'(t). Интегрирование от А до В позволяет определить длину всей кривой. В свою очередь каждый линейный сегмент представляет собой касательную к кривой, называемую в данном случае касательным вектором. Однако поскольку кривая находится на круге Пуанкаре, то перед интегрированием полученный результат нужно умножить на значение метрики √([X'(t)] 2+[Y'(t)] 2)×√(4/(1-x 2-y 2) 2) , чтобы ввести поправку на кривизну.

Для дальнейшего упрощения полученной картины приравняем Y(t ) к нулю и таким образом ограничимся осью x . Затем начнем движение с постоянной скоростью вдоль оси x из точки 0 в точку 1. Если время также будет изменяться от 0 до 1, то уравнение движения будет иметь вид X(t) = t , и при Y(t) = 0 , что предполагалось изначально, производная X'(t) = 1, поскольку производная от X в данном случае берется по отношению ко времени, а значение X всегда равно значению времени. Если представить производную в виде отношения, то последнее уравнение станет очевидным: в этом примере производная по X — это отношение изменения переменной X к изменению переменной X , а любое отношение такого вида — с одинаковым числителем и знаменателем — всегда равно 1.

Таким образом, пугающее своим видом выражение, полученное двумя абзацами выше, которое необходимо было каким-то образом проинтегрировать, чтобы получить из него длину, свелось к выражению 2/(1 — x 2). Нетрудно заметить, что когда x стремится к единице, это отношение стремится к бесконечности, и точно так же стремится к бесконечности, или, как говорят математики, расходится , и его интеграл.

Важно отметить, что из стремления к бесконечности метрических коэффициентов — в данном случае G 11 и G 22 — еще не следует, что расстояние до границы также стремится к бесконечности. Но именно это имеет место в случае метрики Пуанкаре на единичном круге. Рассмотрим внимательнее, что происходит с этими значениями при движении в направлении от центра круга с течением времени. В начальной точке, где x = 0 и y = 0 , оба коэффициента, G 11 и G 22 равны 4. Однако при приближении к границе круга, где сумма квадратов x и y близка к 1, метрические коэффициенты резко возрастают, как и длины тангенциальных векторов. К примеру, когда x = 0,7 и y = 0,7 , G 11 и G 22 равны 10 000 . При x = 0,705 и y = 0,705 значения коэффициентов будут больше 100 000 ; а для x = 0,7071 и y = 0,7071 — превысят 10 миллиардов . При приближении к границе круга эти коэффициенты будут не просто возрастать, но в конце концов устремятся к бесконечности — так же, как и расстояния до границы. Если бы вы были жуком, ползущим по поверхности в направлении границы круга, то, к величайшему огорчению, вы никогда бы ее не достигли. Впрочем, вы бы ничего не потеряли, поскольку данная поверхность не имеет границы в принципе. Если поместить открытый единичный круг на плоскость, то он приобретет границу в виде единичной окружности, являющейся частью данной плоскости. Но сам единичный круг Пуанкаре границы не имеет, и любой жук, пытающийся до нее добраться, умрет, так и не осуществив своей мечты. Этот непривычный и, возможно, противоречащий интуиции факт является результатом отрицательной кривизны единичного круга, обусловленной метрикой Пуанкаре.