Шинтан Яу - Теория струн и скрытые измерения Вселенной

Рис. 9.2.Благодаря полной симметрии сфера остается без изменений при вращении вдоль любой оси, проходящей через ее центр. Однако можно нарушить симметрию, если потребовать, чтобы при повороте северный полюс оставался неподвижным. Теперь вращение разрешено только относительно одной оси, проходящей через северный и южный полюсы. Следование этому условию нарушает или ограничивает полную вращательную симметрию сферы

Остальные поля, соответствующие нарушенным симметриям, полностью не исчезают. Они будут проявлять себя только в области очень высоких энергий, что делает их недоступными для нас. Можно сказать, что дополнительные симметрии Е8 спрятаны в Калаби-Яу.

Тем не менее одно лишь многообразие Калаби-Яу само по себе не способно породить Стандартную модель. Здесь и вступают в игру расслоения, которые являются в буквальном смысле расширениями многообразия. Расслоениями называют группы векторов, прикрепленные к каждой точке многообразия. Самый простой тип расслоения известен под названием касательное расслоение . Каждое многообразие Калаби-Яу имеет такое расслоение, но поскольку касательное расслоение Калаби-Яу является более сложным для представления, чем даже само многообразие, то давайте вместо него рассмотрим касательное расслоение обычной двухмерной сферы. Если выбрать точку на поверхности этой сферы и построить два вектора, касательных поверхности сферы в этой точке, то такие векторы определят плоскость или диск в пределах плоскости, если ограничить векторы определенной длиной. Если сделать то же самое в каждой точке поверхности и объединить все эти плоскости или диски вместе, то таким коллективным объектом и будет расслоение. Следует отметить, что расслоение обязательно включает само многообразие, поскольку в расслоение входит, по определению, каждая отдельная точка на поверхности многообразия. По этой причине касательное расслоение двухмерной сферы является четырехмерным пространством, поскольку касательная к поверхности обладает двумя степенями свободы, или двумя независимыми направлениями движения, а также сама по себе сфера, будучи частью расслоения, добавляет еще две степени свободы, которые сами не зависят от касательного пространства.

Рис. 9.3. В каждой точке поверхности сферы существует касательная плоскость, пересекающая сферу только в этой точке и больше нигде. Касательное расслоение для сферы состоит из плоскостей, касательных к каждой точке этой сферы. Поскольку, по определению, касательное расслоение включает каждую точку на сфере, оно также должно включать и саму сферу. Невозможно изобразить касательное расслоение с его бесконечным количеством касательных плоскостей, поэтому мы покажем сферу с кусками касательных плоскостей в нескольких показательных точках

Касательное расслоение шестимерного многообразия Калаби-Яу представляет собой соответственно 12-мерное пространство с шестью степенями свободы в касательном пространстве и шестью степенями свободы в самом многообразии.

Расслоения имеют решающее значение в попытках струнных теоретиков сформулировать физику элементарных частиц в терминах теории Янга-Миллса, где калибровочные поля описываются набором дифференциальных уравнений, называемых, как нетрудно догадаться, уравнениями Янга-Миллса.

Наш следующий шаг состоит, в частности, в поиске решений уравнений для калибровочных полей, живущих на трехмерном многообразии Калаби-Яу. Поскольку основной причиной появления многообразий Калаби-Яу в теории струн было удовлетворение требованиям суперсимметрии, калибровочные поля также должны подчиняться суперсимметрии. Это означает, что мы должны решать специальные суперсимметричные уравнения Янга-Миллса, называемые эрмитовыми уравнениями Янга-Миллса. Эти уравнения дают суперсимметрию с минимальным количеством типов симметрии, которое только можно получить, известную как суперсимметрия N = 1, и это единственная суперсимметрия, которая согласуется с современной физикой элементарных частиц.

«До того как теория струн поразила наше воображение, большинство физиков особо не задумывались о геометрии и топологии, — говорит физик Пенсильванского университета Бёрт Оврут. — Мы просто записывали уравнения типа уравнений Янга-Миллса и пытались их решить». Единственной загвоздкой является то, что эрмитовы уравнения Янга-Миллса являются существенно нелинейными дифференциальными уравнениями, которые никто не может решить. «До сегодняшнего дня, — говорит Оврут, — нет ни одного известного [явного] решения эрмитовых уравнений Янга-Миллса в шестимерном многообразии Калаби-Яу. Следовательно, мы должны были бы остановиться на достигнутом, если бы не работа некоторых геометров, показавших нам иной путь». [161] Burt Оvrut (University of Pennsylvania), interview with author, July 20, 2008.