Александр Гордон - Диалоги (май 2003 г.)

Вообще говоря, применение степенного распределения в корне меняет въевшееся в плоть и кровь представление о надёжности и риске. Вот мы рассмотрели максимальные уровни для реки Невы. И для того, чтобы исследовать повторяемость наводнений, мы рассмотрели наше степенное распределение и принятое в гидрологии гамма-распределение. Вот крупнейшее наводнение на реке Неве произошло в Петербурге. Его описал Пушкин в поэме «Медный всадник». Он писал, что «вода и больше ничего» – настолько залило Петербург. Уровень воды реки Невы 19 ноября 1824-го года достиг 421 сантиметра. Если использовать гамма-распределение, то такое наводнение повторяется один раз в 22 тысячи лет. То есть оно является чрезвычайно редким и совершенно невероятным.

А если использовать степенное распределение и рассчитать повторяемость, то оно происходит один раз в 667 лет и является, в общем, вполне реальным.

Следующее крупное наводнение произошло 23 сентября 1924-го года. Уровень в реке Неве был 380 сантиметров. С точки зрения гамма-распределения такое наводнение повторяется раз в 2700 лет. А с точки зрения степенного распределения, оно повторяется один раз в 2,5 века и является вполне реальным событием. Получив это, мы сравнили нашу модель с гидродинамическими моделями, которые были разработаны в Петербурге. И вот в таблице видно, что наша модель и гидродинамические модели очень хорошо соответствуют друг другу. А плотности степенного распределения и гамма-распределения хорошо совпадают в средней части и очень сильно различаются в области катастрофических наводнений. Именно этим и объясняется разница в такой повторяемости.

В.Н.Я хотел бы здесь добавить, что гидродинамические модели, которые использовались для расчёта и описания наводнений, неявно, – и явно, конечно, – учитывали нелинейный характер воды движения в Финском заливе. Именно они и дали такой правильный результат – с нашей точки зрения.

Мы рассчитывали натурные данные конечно не только для Невы, но и для других рек. Например, Янцзы. Хорошо известно, что там в 1931-м году произошло крупнейшее наводнение, унёсшее 1,3 миллиона жизней. Что оказалось здесь? Мы рассчитывали наводнение 54-го года, по 31-му году у нас не было данных. Оказалось, везде наблюдается одна и та же картина: невероятное, с точки зрения обычных формул гидрологии, оказывается вероятным с точки зрения степенного закона. То есть, нужен пересмотр всех этих явлений с точки зрения правильного описания статистики редких событий.

Исследовали такую реку – Западная Двина. То же самое. В Витебске в 31-м году было крупнейшее наводнение. Обычные формулы дают – невероятно. Наша формула даёт раз в шесть большую вероятность. Через три года это наводнение повторяется. И в Миссури мы анализировали максимальный расход воды, потом исследовались высокие уровни воды в Амуре. Потом исследовали (правда, тут маловато данных, но, тем не менее, из-за любопытства), например, наводнение на Северном Кавказе прошлым летом, наводнение в Чехии и Германии – исследовались июльские и августовские расходы воды в Эльбе.

Везде наблюдалась та же картина. Вероятность наводнений, вычисленных на основе такого вот экспоненциального семейства, в 6, 7 (и даже больше, если особо выдающиеся наводнения) больше вероятности по гамма-распределению.

Ещё тут важен и такой момент. Каковы результаты степенной статистики? Ирина Аркадьевна уже говорила, что ущерб может приобретать неограниченную дисперсию. Более того, иногда может и математическое ожидание не иметь конечного результата. То есть, возникает вопрос, не могут же на планете существовать бесконечные силы наводнения?

А.Г.Всемирный потоп.

В.Н.Да, да, вроде того. Надо предложить какую-то конструктивную гипотезу. Мы выполнили анализ того стохастического дифференциального уравнения, о котором я говорил, и оказалось, что этот степенной закон, который возникает за счёт нелинейной связи между стоком и влагозапасом, и характеризующийся сильной нелинейной связью, с ослабеванием этой связи начинает постепенно сходить на нет. И в области больших значений исследуемой величины вырождается в гауссовский закон, то есть экспоненциальный. Но в достаточно широкой области он справедлив. А поскольку сейчас мы живём в такую климатическую эпоху, что увлажнённость суши ещё не так велика (примерно 20-40 сантиметров в десятиметровом слое воды – это достаточно мало), то такие гигантские наводнения происходили в прошлом, случаются в настоящем, и ещё будут случаться в будущем. Потому что ограничения на расход воды, на увлажнённость речных бассейнов ещё далеко не достигнуты.