Энрике Грасиан - Мир математики. т.3. Простые числа. Долгая дорога к бесконечности

Без особой натяжки можно предположить, что необходимость в счете появилась, когда человечество перешло от охоты и собирательства к земледелию и животноводству. При этом урожай и скот перестали быть продуктами немедленного потребления, а превратились в товары, которые нужно считать, регистрировать и продавать.

Это создало потребность в конкретных способах счета. Представим себе пастуха, который выгоняет стадо на пастбище. Он должен быть уверен, что в загон вернется то же количество животных, которое он выпускал. Без системы счета самым естественным решением будет взять горсть гальки и класть один камень в сумку каждый раз, как из загона выходит одна овца. Затем, по возвращении, он должен вынимать один камень для каждой входящей в загон овцы, чтобы таким образом убедиться в том, что все овцы целы. Это, конечно, примитивная система подсчета. Кстати, слово подсчет ( calculation ) происходит от латинского слова calculus, означающего «галька, камешки». Такая галечная система не требует понятия числа. В терминах современной математики мы бы сказали, что пастух устанавливает взаимно однозначное (один к одному) соответствие между стадом овец и множеством камней.

Заметим, однако, что математическое понятие взаимно однозначного соответствия между двумя множествами появилось лишь в XIX в., поэтому было бы странным называть такой процесс подсчета наиболее естественным. Так что, используя слова «естественный» или «натуральный», по крайней мере в этом контексте, мы должны сделать некоторые разъяснения.

Можно предположить, что естественным следует называть такой мыслительный процесс, который не требует предварительных размышлений. Однако нельзя быть уверенным в том, что система подсчета с использованием мешка камней не потребовала предварительных рассуждений. В любом случае естественный мыслительный процесс может быть охарактеризован легкостью исполнения и эффективностью в достижении цели. Использовать количество размышлений для определения естественности мыслительного процесса не совсем приемлемо. В этом контексте лучше говорить об уровнях абстракции.

* * *

ВОСПРИЯТИЕ ЧИСЕЛ

Когда китайцы говорят о десяти тысячах звезд на небе, это не значит, что они их все посчитали. Это просто способ выразить очень большое число. Можно подумать, что для выражения такого понятия лучше подходит число миллиард. Но мы должны с самого начала учитывать, что наше непосредственное восприятие чисел ограничено пятью единицами. Если кто-то показывает пять пальцев одной руки и три пальца другой, мы практически сразу определяем общее количество в восемь пальцев, но для нас это почти что шифр. Когда же восемь объектов разложены на столе, нам придется посчитать их или визуально разделить на маленькие группы, чтобы узнать их количество. Поэтому нам очень трудно представить миллион объектов, если у нас нет непосредственного соответствия. Мы знаем, что значит выиграть миллион фунтов в лотерею, потому что мы знаем цену деньгам, и мы быстро проделываем мысленные расчеты, что на них можно купить. Но существует большая разница между таким пониманием и четким представлением о том, как выглядит выложенный в ряд миллион монет в один фунт (они покроют расстояние в 22,5 км).

С одного взгляда наш мозг способен распознать до пяти объектов. При больших количествах для подсчета приходится использовать другие стратегии.

* * *

Системы счета возникли на основе такого мощного процесса абстракции, который, по мнению многих специалистов, наряду с изучением языка является одним из самых серьезных достижений человечества за всю историю. Когда мы говорим «три», мы можем иметь в виду три овцы, три камня, три дома, три дерева, три чего угодно. Если бы приходилось использовать разные слова для описания количества разных объектов, первобытное сельскохозяйственное общество с самого начала было бы погребено под лавиной словесной информации. «Три» является абстрактным понятием, чисто ментальным образом, для которого требуется только одно слово и один знак, чтобы служить средством коммуникации в социальной группе.

Напомним, кстати, что повседневный язык также включает в себя процесс абстракции. Когда ребенок впервые узнает слово «стул», он называет им исключительно тот объект, на котором обычно сидит, но постепенно он понимает, что то же самое слово может относиться не только к одному высокому стулу, но и ко многим другим объектам с той же функцией. Процесс абстракции продолжается и в один прекрасный день переходит на более высокий уровень: появляется слово «сиденье», которое относится не только ко всем стульям, но и к скамейкам, табуреткам и всему, на чем можно сидеть.