Эдуардо Арройо - Том 42. Путешествие от частицы до Вселенной. Математика газовой динамики

Один из самых интересных видов аттракторов — это предельный цикл, или периодическое движение, к которому стремится система, если располагает достаточным количеством времени.

Пример предельного цикла. Все траектории стремятся к форме пути, выделенному жирным.

Как можно заметить, любая соседняя орбита предельного цикла стремится к нему. Классический пример предельного цикла — часы с маятником, период колебания которого определен длиной маятника, а дополнительная энергия исходит от гири и от завода часов. Обычный маятник, однако, стремится потерять энергию и остановиться в точке стабильного равновесия. Предельные циклы возникают только в системах с постоянным притоком энергии, как в случае с земной атмосферой.

Предельные циклы замечены во всех видах систем. Наиболее интересный случай — химические часы, о которых далее мы расскажем подробнее: в них два вещества реагируют друг с другом, и одно способно превращаться в другое. В некоторых условиях оба вещества превращаются друг в друга с определенным периодом, который можно видеть невооруженным глазом по смене цвета раствора.

Еще сложнее, чем предельные циклы, странные аттракторы. В этом случае траектории стремятся к области с фрактальной структурой. Фрактал — это геометрическая фигура, которая обладает самоподобием, то есть любая часть фрактала подобна ему целиком. Классический пример — снежинка Коха.

Различные этапы создания снежинки Коха.

Конечная фигура получается в результате бесконечного числа этапов.

Эту фигуру можно построить, применяя одну и ту же трансформацию несколько раз для каждой линии рисунка, так что он усложняется с каждым циклом. Трансформация применяется бесконечное число раз, и это предполагает, что фигура имеет одинаковый вид, в каком бы масштабе мы на нее ни смотрели. На рисунке слева на следующей странице показано множество Мандельброта — одна из самых известных фрактальных структур, в определенном масштабе, а справа — тот же самый фрактал, увеличенный в 100 раз.

Фракталы имеют дробную размерность, то есть для них характерно не целочисленное количество измерений — одно, два или три, — а, например, 1,65. Это можно объяснить следующим образом: если вычислить периметр снежинки Коха, окажется, что он бесконечен, потому что линии фигуры бесконечно сложны. Итак, с одной стороны, определяющая его линия имеет больше одного измерения, значит, ее размерность должна лежать в промежутке между единицей и двумя. Существуют различные способы вычислить размерность фрактала, и в случае со снежинкой она примерно равна 1,26.

Поскольку странный аттрактор — это фрактальная геометрическая фигура, то хотя она и ограничена конечной областью фазового пространства, траектории необязательно должны повторяться или сходиться в одной точке. На самом деле предполагается непериодическое поведение: тело движется непрогнозируемо, даже будучи ограниченным определенной областью фазового пространства, и никогда не проходит два раза через одну и ту же точку, иначе его траектория была бы периодической. В целом траектория тела напоминает изображенную на рисунке.

* * *

ФРАКТАЛЫ В ПРИРОДЕ

Фракталы существуют и в реальном мире. Например, брокколи имеет структуру, которая повторяется в любом масштабе, как видно на фотографии. Другие примеры фракталов — это молния, древовидная структура которой остается неизменной в любом масштабе, или лист папоротника, изображение которого можно сгенерировать математически. Фрактальную природу также имеют морские побережья или раковины моллюсков. Действительно, живые структуры очень часто фрактальны, поскольку именно этой модели соответствуют модели роста органической ткани. В человеческом теле, например, фрактальные характеристики имеют структура венозной системы кровообращения или структура легких.

* * *