Эдуардо Арройо: Том 42. Путешествие от частицы до Вселенной. Математика газовой динамики

Однако до удовлетворительного описания газовой динамики методами механики оставалось еще два века: физическое сообщество отказывалось принять идею существования атомов, а в тех редких случаях, когда подобное предположение принималось, это преследовало скорее математические цели, не имевшие никакого отношения к реальной действительности. К тому же математический аппарат того времени не был предназначен для решения таких сложных задач. Даже если принять существование атомов и молекул, уравнения, описывавшие их движения, оказались слишком сложными. Некоторые их решения были найдены лишь через 200 лет, но в целом проблема так и осталась нерешенной.

Законы, сформулированные Ньютоном, опирались на очень сильный математический аппарат. Например, в его втором законе утверждалось, что сила, примененная к частице, пропорциональна характерному для нее ускорению, при этом константой пропорции является масса. Выражаясь математически,

F = m · а ,

где F обозначает силу, m — массу, а — ускорение.

Применение этой формулы выходит далеко за пределы вычисления ускорения частицы, ведь на самом деле второй закон Ньютона является так называемым дифференциальным уравнением , то есть уравнением, приравнивающим функции. В качестве пояснения рассмотрим обычное уравнение, например

х + 3 = 5.

В этом уравнении говорится, что х — это число, при добавлении к которому числа три получится пять. Таким образом, х равен двум.

В дифференциальном же уравнении неизвестное — это не число, а функция. Функцию можно понимать как механизм, который заданное число превращает в другое число. Например, функция х 2дает нам квадрат любого числа, которое мы подставим вместо х : для двух — четыре; для трех — девять.

В дифференциальном уравнении необходимо найти функцию, которая удовлетворяла бы некоторым условиям. Любой физический закон можно выразить как систему дифференциальных уравнений, в которых показано, как некоторые физические величины изменяются с течением времени.

В уравнении второго закона Ньютона говорится, как найти ускорение тела. Однако узнав ускорение, мы можем получить гораздо больше информации. Ускорение — это изменение скорости за единицу времени, так что если мы знаем ускорение, то мы знаем и скорость. Далее, скорость говорит нам, как сильно меняется положение тела за некоторый промежуток времени, так что если мы знаем скорость, мы можем определить положение.

Таким образом, если мы решим уравнение второго закона Ньютона, то можем выяснить, в какой точке находится и с какой скоростью движется тело в каждый момент времени. И эти огромные возможности скрыты в короткой формуле.

* * *

РЕШАЯ УРАВНЕНИЯ НЬЮТОНА

Уравнения Ньютона относительно просто решить при постоянном ускорении тела. Представим себе монету, падающую с Эйфелевой башни, высота которой составляет около 300 м. Мы знаем, что ее ускорение равно ускорению свободного падения, то есть 9,81 м/с 2(для упрощения расчетов округлим до 10 м/с 2). Это означает, что монета каждую секунду движется на 10 м/с быстрее. Исходя из этой информации, мы можем вычислить, какова ее скорость в любой момент. Если исходное состояние — покой, то через секунду ее скорость будет 10 м/с; через две — 20 м/с; через десять — 100 м/с.

Узнав скорость, мы можем вычислить расстояние, которое монета прошла за время своего падения. Например, мы можем определить путь, пройденный за первые две секунды. Поскольку исходная скорость монеты равна нулю (монета не двигалась), а конечная — 20 м/с, монета перемещалась со средней скоростью 10 м/с. И поскольку она падала в течение двух секунд, пройденное расстояние равно 20 м. Выполняя одну и ту же операцию для различных временных интервалов, мы можем выразить высоту относительно времени в таблице.

Также мы можем построить график, в котором видно положение монеты в каждый момент времени.

* * *

Несмотря на всю свою важность, законы Ньютона оказались малоприменимы к некоторым типам задач. Но чтобы понять причину этого, нам нужно обратиться к такому понятию, как координаты.