Франсиско Мартин Касальдеррей - Мир математики. Том 16. Обман чувств. Наука о перспективе

При построении правильных пяти- и десятиугольника также используется золотое сечение. Соотношения многих сторон и отрезков в пятиугольнике описываются числом Ф(так называемым золотым числом). Рассмотрим некоторые из них:

Как следствие, в додекаэдре, который образован двенадцатью пятиугольниками, золотое сечение также встречается очень часто.

Золотое сечение также используется в икосаэдре и многих других многогранниках. Если мы соединим два противоположных ребра икосаэдра, получим прямоугольник золотого сечения. Если мы попарно сгруппируем 12 вершин икосаэдра, то получим фигуру, изображенную на рисунке ниже. В ней можно увидеть три прямоугольника, лежащих в плоскостях, попарно перпендикулярных друг другу.

Так как додекаэдр является двойственным икосаэдру, он также обладает этим свойством. Единственное отличие заключается в том, что вместо противолежащих ребер в этом случае нужно соединить центры граней.

Три прямоугольника золотого сечения, вписанные в икосаэдр.

(источник: FMC)

* * *

В эту эпоху в работах художников помимо правильных и полуправильных, или архимедовых, многогранников начинают появляться другие геометрические фигуры — конусы, призмы и ограненные сферы. В некотором смысле они предвосхитили понятие предела, которое появилось лишь несколько столетий спустя. Ограненные сферы, которые встречаются в книге «О божественной пропорции» и в инкрустациях Фра Джованни да Верона, можно вписать в идеальную сферу, которая, в свою очередь, будет описывать все ограненные сферы одного радиуса.

Один из многогранников, так называемый мазоччо, который часто встречается в работах Паоло Уччелло, стал своеобразным символом перспективы. Изначально это был флорентийский головной убор XV века, который надевался поверх отреза легкой ткани, обмотанного вокруг головы. По форме он напоминал тор — геометрическое тело в форме бублика.

Джованни да Верона. Инкрустация по дереву с изображением мазоччо (конец XV века).

Тор можно представить несколькими способами. Проще всего рассматривать его как поверхность вращения окружности, центр которой перемещается вдоль другой, большей окружности, перпендикулярной первой. Его также можно представить как вытянутый цилиндр из пластичного материала, основания которого склеены. Если мы разобьем поверхность тора на грани, чтобы построить его модель, например из картона, то получим примерно такое изображение:

Ограненный мазоччо.

(источник: FMC)

* * *

МНОГОГРАННИК, НАПОЛНЕННЫЙ ВОДОЙ

Лука Пачоли поддерживал дружеские отношения со многими художниками, и те часто изображали его на своих картинах. Выше приведен портрет кисти Якопо де Барбари, на котором изображен Пачоли, читающий лекцию по математике. Ученик предположительно Гвидобальдо да Монтефельтро, будущий герцог Урбинский. На столе перед Пачоли лежат «Начала» Евклида. Он читает лекцию по геометрии и, судя по изображению на доске, рассказывает о pons asinorum — «мосте ослов». Так раньше называлась теорема из «Начал», согласно которой углы, противоположные равным сторонам равнобедренного треугольника, равны. Некоторые исследователи считают, что название pons asinorum произошло из-за того, что построенные фигуры по форме напоминали мост. Более правдоподобной выглядит версия, согласно которой это название означало, что теорема была непреодолимой для несведущих учеников и все дальнейшее содержание «Начал» было им непонятно. Книга, изображенная справа, — это «Сумма арифметики». На ней находится додекаэдр, а вверху изображен многогранник со стеклянными гранями, наполовину наполненный водой, подвешенный к потолку на золотой цепочке. В нем отражается окно, сквозь которое слева направо падает луч света. Этот многогранник — ромбокубоктаэдр, имеющий 18 квадратных и 8 треугольных граней.

Портрет Луки Пачоликисти Якопо де Барбари. Национальный музей и галерея Каподимонте, Неаполь.