Хавьер Арбонес - Том 12. Числа-основа гармонии. Музыка и математика

Важно учитывать, что все вышеизложенное справедливо для инструментов с фиксированным строем, например для пианино: его звучание не меняется по ходу исполнения музыкального произведения. Однако инструменты с нефиксированным строем, а также человеческий голос могут быть настроены согласно диатоническому или равномерно темперированному строю.

Центы

Цент — это логарифмическая единица, используемая для точного измерения интервалов, отношение частот для которых крайне мало. Цент получается делением полутона на 100 равных (перемножающихся!) микроинтервалов. Интервал в 1 цент слишком мал, чтобы его можно было различить на слух.

Подобно тому как 12 полутонов образуют октаву, цент — это число с такое, что

С помощью центов можно по-новому сравнивать интервалы различных темпераций. Так как цент — это логарифмическая единица, то в цепочке центов частоты складываются, а не перемножаются, как в предыдущих случаях. Следовательно, использование центов значительно упрощает вычисления. Интервал р выражается в центах следующим образом:

с( р ) = 1200· log 2 p .

Благодаря этой формуле можно пересчитать все интервалы и представить их в виде центов, что упрощает сравнение различных музыкальных строев:

* * *

ГАРМОНИЧНЫЕ КОЛОКОЛЬЧИКИ

Ветряные колокольчики состоят из небольших трубок разной длины, обычно металлических, которые крепятся к круглому основанию. Под дуновением ветра трубки ударяются о кольцо, закрепленное в центре. Как правило, трубки подбираются так, чтобы их звучание соответствовало пентатоническому звукоряду. Они также могут быть подобраны индивидуально, в соответствии с любым другим звукорядом. Должна соблюдаться относительная длина трубок, кроме того, отверстие в каждой трубке должно находиться в строго определенном месте. За основу берется трубка длины L, звук которой принимается в качестве основы звукоряда. Через L i рассчитываются длины остальных трубок в соответствии с формулой

Колокольчики различной формы, изготовленные из металлических трубок.

R i — соотношение частоты данного звука и базового. В свою очередь, подвес должен располагаться на высоте, равной 22,4 % от общей длины трубки. В следующей таблице приведены некоторые значения длин трубок для колокольчиков из семи трубок:

Также можно вычислить длины трубок для более низких звуков, например для нисходящей кварты. В этом случае значение R iбудет обратным значению для восходящей кварты:

* * *

Квинты равномерно темперированного строя несколько меньше чистых квинт. Терции равномерно темперированного строя, в свою очередь, больше чистых терций, но меньше пифагорейских.

Соизмеримость

Пифагорейцам не были известны дроби в том виде, в котором мы их используем сейчас. Вместо этого применялось эквивалентное понятие отношения между целыми числами. Как вы уже увидели, с помощью таких отношений пифагорейцы описали соотношения длин струн, способных производить гармоничные звуки: 2:1, 3:2, 4:3, …

Пифагорейцы были твердо убеждены в том, что числа выражали гармонию Вселенной, поэтому две величины всегда должны быть соизмеримы: их отношение должно выражаться как отношение целых чисел. Понятие соизмеримости напрямую связано с числами, которые мы называем рациональными. Рациональное число — это число, представляемое обыкновенной дробью, числителем которой является целое число, а знаменателем — натуральное. На языке современной математики пифагорейское понятие соизмеримости будет звучать так: две произвольные величины А и В соизмеримы, если существует третья величина С и два целых числа р и q такие, что С укладывается в А р раз, а в В — q раз.