Антонио Лизана - Если бы числа могли говорить. Гаусс. Теория чисел

В три года, наблюдая за тем, как отец рассчитывает зарплату наемным работникам, мальчик заметил ошибку и сказал, каким должен быть результат. Гебхард пересчитал цифры и обнаружил, что сын прав. Это тем более удивительно, учитывая, что малыша никто не учил числам и тем более сложению. Мать Гаусса с трудом читала, а писать не умела вовсе, но при этом ученый никогда не чувствовал особой близости к отцу и всю жизнь утверждал, что унаследовал свои способности от матери.

Не знание, а процесс обучения, и не обладание, а ощущение того, что ты пришел к чему-то, доставляют наибольшее наслаждение.

Карл Фридрих Гаусс

Наиболее достоверная информация о немецком математике начинается с 1784 года, когда юный Карл поступил в начальную школу. В те времена это не было обычным занятием для детей, но в городе встречалось все же чаще, чем в селах, так что в этом смысле Гауссу очень повезло. Повезло ему и в другом: мальчик встретил необычайно талантливого учителя, который опекал его в первые годы обучения. Заслуга Бюттнера в том, что он вовремя заметил огромный талант Гаусса и выделял его среди более чем 50 одноклассников. В 1786 году учитель за свой счет даже запросил из Гамбурга специальные арифметические тексты для выдающегося воспитанника. Ассистентом Бюттнера в те годы работал Мартин Бартельс (1769-1836), который был всего на восемь лет старше Карла Фридриха. Позже Бартельс стал преподавателем математики в Казанском университете. Он также быстро заметил гениальность Гаусса и уделял мальчику пристальное внимание. Можно сказать, что они учились вместе, помогая друг другу расшифровывать учебники по алгебре и элементарному анализу. В те годы и начали зарождаться некоторые идеи и способы видения математики, ставшие позже характерными для Гаусса. Из учебников Бартельса юноша узнал о биноме Ньютона для нецелых показателей и бесконечных рядах, в эти же годы он сделал первые шаги в математическом анализе. Любопытно, что в Казанском университете Бартельс преподавал Николаю Лобачевскому (1792-1856), который впоследствии занялся разработкой неевклидовой геометрии — области, основоположником которой был именно Гаусс.

В сотрудничестве со своим учителем Мартином Бартельсом молодой Гаусс получил новое доказательство бинома Ньютона с натуральными коэффициентами, то есть формулу, которая позволяет вычислить степень двучлена:

Это число сочетаний n по k, а n! = Π n i-1i называется факториалом числа, и он равен произведению этого числа на все натуральные числа меньше него.

Известна история, из которой видно, насколько легко давались Гауссу арифметические вычисления. Когда мальчику было девять лет, учитель Бюттнер предложил своим ученикам сложить сто первых натуральных чисел, будучи уверенным в том, что это займет класс достаточно долго, а он в это время сможет отдохнуть. Обычно ученики, решив задачу, вставали и клали доску с решением перед учителем. И вот в то время как остальные ученики едва приступили к заданию, Гаусс уже положил свою доску на стол учителя, воскликнув: Ligget se! («Вот оно!»). Бюттнер подумал, что Гаусс просто дерзит ему, но когда он посмотрел на доску, то обнаружил, что на ней записан правильный ответ — 5050, причем не было приведено ни одного этапа вычислений. Учитель подумал, что каким-то образом проговорился об ответе, но тут юный Карл объяснил ход своих рассуждений. Гаусс не стал решать проблему в лоб, просто складывая слагаемые (к тому же при этом легко было допустить ошибку), а предпочел нестандартный подход. Он быстро понял, что первое число (1) и последнее (100) в сумме дают то же самое значение (101), что второе число и предпоследнее, и это рассуждение можно продолжить, то есть 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ... = 50 + 51 = 101. Образовались 50 пар чисел, которые в сумме давали 101 и произведение которых было равно 5050.

Гаусс, сам того не понимая, применил формулу суммы членов арифметической прогрессии. Арифметическая прогрессия — это ряд таких чисел, в котором разность между двумя любыми последовательными членами является постоянной, и эта величина называется разностью прогрессии, просто разностью или шагом. В проблеме, предложенной Гауссу, разность была равна 1. Выражение суммы арифметической прогрессии довольное простое: если члены нашей последовательности — это a 1а 2,..., а n, то сумма S nравна: