Антонио Лизана - Если бы числа могли говорить. Гаусс. Теория чисел

Когда в 1831 году Янош Бойяи (1802-1860), сын Вольфганга, изложил ему свои идеи о неевклидовой геометрии, Гаусс ответил ему так: «Я не могу хвалить Вашу работу, поскольку, сделав это, я бы хвалил самого себя, так как идеи, которые Вы мне излагаете, совпадают с идеями, которые я разработал 30-35 лет назад». Однако Гаусс признал Яноша Бойяи и Николая Лобачевского, другого создателя неевклидовой геометрии, гениями первой величины. Он даже выучил русский язык, чтобы иметь возможность читать работы Лобачевского в оригинале. Кроме того, математик добился, чтобы в 1842 году русского ученого признали членом Гёттингенской академии.

Сегодня Гаусса, Лобачевского и Яноша Бойяи считают создателями неевклидовой геометрии. Сейчас, помимо евклидовой, известны гиперболическая и эллиптическая геометрии, зависящие от типа кривизны (положительной или отрицательной).

Неевклидовой называется любой вид геометрии, постулаты и свойства которой отличаются от пяти постулатов Евклида.

Существует много типов неевклидовой геометрии, хотя если свести дискуссию к гомогенным пространствам, в которых кривизна пространства одна и та же в каждой точке и в которых все его точки неразличимы, можно выделить три типа геометрий:

— евклидова геометрия — удовлетворяет пяти постулатам Евклида и имеет нулевую кривизну;

— гиперболическая геометрия — удовлетворяет только первым четырем постулатам Евклида и имеет отрицательную кривизну. В этой геометрии через каждую точку, не лежащую на прямой, проходит бесконечное количество прямых, параллельных данной;

— эллиптическая геометрия — также удовлетворяет первым четырем постулатам Евклида и имеет положительную кривизну. Что касается пятого постулата Евклида, в этой геометрии через каждую точку, не лежащую на прямой, не проходит ни одной прямой, параллельной данной (вспомним, что в евклидовой геометрии проходит только одна параллельная прямая). Это случай меридианов Земли, которые в сферической геометрии (частный случай эллиптической) считаются параллельными. На рисунке изображены прямые в различных пространствах.

Гиперболическое пространство

Евклидово пространство

Эллиптическое пространство

В качестве примера, подтверждающего важность вклада великого немецкого математика в геометрию, можно привести тот факт, что Бернхард Риман, самый выдающийся ученик Гаусса, по его просьбе посвятил свою докторскую диссертацию обобщению неевклидовой геометрии.

Хотя Гаусс не публиковал работ по неевклидовой геометрии, это не означает, что он вообще не занимался геометрическими проблемами. В 1827 году ученый представил фундаментальную работу о дифференциальной геометрии, использовавшую элементы математического анализа. Книга, озаглавленная Disquisitiones generales circa superficies curvas («Общие исследования о кривых поверхностях»), представляет собой вклад Гаусса в дифференциальную геометрию. В этой работе ученый создал дифференциальную геометрию поверхностей, которая в последующие десятилетия была дополнена работами многих математиков. Основная проблема здесь — это отражение на плоской карте геометрии других типов поверхностей. В самых простых случаях (при постоянной кривизне) появляются гомогенные геометрии: евклидова, эллиптическая и гиперболическая (именно ее разработали Бойяи и Лобачевский). Гаусс пошел намного дальше этих гомогенных пространств и ввел то, что сегодня называется кривизной Гаусса, — обобщение для поверхностей определенной кривизны на плоскости.

Это позволило ему сформулировать так называемую Theorema Egregium (выдающуюся теорему), главный результат дифференциальной геометрии. Говоря неформально, в теореме утверждается, что гауссова кривизна дифференцируемой поверхности может быть полностью определена посредством измерения углов и расстояний на самой поверхности, не ориентируясь на конкретную форму, которую она принимает в трехмерном евклидовом пространстве. Из этого следует, что понятие кривизны — это локальное свойство.