Саймон Сингх - Симпсоны и их математические секреты

За три года до появления шутки с числом π в эпизоде «Человек-пирог» авторы «Симпсонов» уже упоминали это число в серии «Пока, пока, зубрила» (Bye, Bye, Nerdie, сезон 12, эпизод 16; 2001 год). Но на этот раз вместо воскрешения старой шутки сценаристы создали совершенно новую, хотя и основанную на одном любопытном случае из истории числа π. Для того чтобы оценить ее по достоинству, сперва необходимо вспомнить значение числа π и то, как оно измерялось на протяжении столетий.

Я уже говорил, что π = 3,14 – всего лишь приближенное значение. Дело в том, что π – иррациональное число, то есть назвать его абсолютно точное значение невозможно, поскольку в нем бесконечное количество десятичных знаков, в которых отсутствует какая-либо закономерность. Тем не менее математики прошлого ставили перед собой задачу выйти за рамки существующей приближенной оценки 3,14 и поймать это ускользающее число, рассчитав его максимально точное значение.

Первую серьезную попытку это сделать предпринял Архимед в третьем столетии до нашей эры. Он понимал, что точность измерения π зависит от точности измерения длины окружности. Но это весьма сложная задача, так как окружность состоит из кривых малой кривизны, а не из прямых линий. Важным достижением Архимеда стало решение обойти проблему измерения кривых путем аппроксимации окружности прямыми линиями.

Возьмем окружность, диаметр которой ( d ) равен единице. Мы знаем, что C = π d , а значит, длина окружности ( С ) равна π. Затем нарисуем два квадрата, один за пределами окружности и один внутри нее.

Безусловно, настоящая окружность должна быть меньше периметра большего квадрата и больше периметра меньшего квадрата. Таким образом, измерив периметры двух квадратов, мы получим верхний и нижний пределы длины окружности.

Периметр большего квадрата измеряется легко, поскольку каждая его сторона имеет ту же длину, что и диаметр круга, который, как нам известно, равен единице. Следовательно, периметр большего квадрата составляет 4 × 1 = 4 единицы.

Периметр меньшего квадрата вычислить несколько труднее, но мы можем определить длину каждой его стороны с помощью теоремы Пифагора. Очень кстати, что диагональ квадрата и две его стороны образуют прямоугольный треугольник, гипотенуза ( H ) которого не только совпадает с диагональю квадрата, но и имеет ту же длину, что и диаметр окружности, то есть единицу. Теорема Пифагора гласит, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов его катетов. Если мы обозначим их символом S , то H ² = S ² + S ². Если H = 1, то две другие стороны должны иметь длину 1/√2 единиц. Следовательно, периметр меньшего квадрата равен 4 × 1/√2 = 2,83 единицы.

Учитывая, что длина окружности должна быть меньше периметра большого круга и больше периметра малого, мы можем с уверенностью заявить, что она должна попадать в промежуток от 2,83 до 4,00.

Не забывайте: ранее мы утверждали, что длина окружности диаметром 1 единица равна π, поэтому значение π должно находиться между 2,83 и 4,00.

В этом и состояло великое открытие Архимеда.

Возможно, оно не произвело на вас особого впечатления, ведь мы уже знаем, что π равно примерно 3,14, так что нижний предел 2,83 и верхний – 4,00 не представляют для нас никакого интереса. Однако сила открытия Архимеда состояла в том, что его результат подлежал уточнению. Вместо того чтобы размещать окружность между большим и малым квадратами, Архимед разместил ее между большим и малым шестиугольниками. Если у вас есть десять свободных минут и вы уверенно оперируете числами, то можете попробовать сами доказать, что по результатам измерения периметра этих двух шестиугольников значение числа π должно быть больше 3,00 и меньше 3,464.

У шестиугольника больше сторон, чем у квадрата, что делает его более точным приближением к окружности. Это объясняет, почему шестиугольник позволяет вычислить более узкие пределы для значения π. Тем не менее и в этом случае имеет место значительная погрешность. Поэтому Архимед продолжал расчеты, применяя этот метод снова и снова и увеличивая количество сторон многоугольника, благодаря чему получал все более точное приближение к окружности.