Luis Alvarez - Самая сложная задача в мире. Ферма. Великая теорема Ферма

Одно известно точно: Пифагор не формулировал теорему, которая носит его имя. Египтяне и вавилоняне знали и применяли ее, но они пользовались ею как инструкцией. Они неоднократно проверили ее на практике и убедились в ее истинности. Говоря современным языком, египтяне и вавилоняне использовали математику эмпирически: если они систематически убеждались, что результат верен, они обобщали его и думали, что он верен всегда. Это известно как индуктивное рассуждение. Когда мы находим действующую инструкцию, мы применяем ее, даже если и не понимаем, почему она работает.

Однако то, что сделал Пифагор, было действительно революционно: он пришел к убеждению, что эмпирических инструкций недостаточно и что требуется строгое доказательство их правоты. Фалес Милетский (ок. 630-545 до н. э.), отец философии, уже занимался выведениями доказательств, но Пифагор превратил поиск математического доказательства в систематическую программу. Он сделал нечто удивительное: пришел к выводу, что инструкция может быть доказана для всех случаев дедуктивно, с помощью правил логики, чтобы стать вечной, безупречной истиной, которую невозможно оспорить. Эмпиризму он противопоставил разум. Так, доказательство, основанное на логических правилах и образованное рядом шагов, которые любой может рассмотреть и понять, лучше, чем миллион экспериментов.

Насколько известно, Пифагор был первым, кто подумал о том, что такие доказательства не только возможны, но и достижимы систематически.

Возьмем два квадрата одинаковой площади со стороной а + b и разделим их, как показано на рисунке. Очевидно, что площадь каждого из квадратов равна (а + b) 2, но ее можно выразить и другим способом. В квадрате слева общая площадь равна сумме площадей двух квадратов со сторонами b и а и площадей четырех треугольников со сторонами а и b, то есть

1/2 · ab

для каждого из них. Следовательно, общая площадь первого квадрата равна

A 1= a 2+ b 2+ 4(1/2 · ab)

Площадь второго квадрата равна сумме площади вписанного квадрата со стороной с и площадей четырех треугольников со сторонами а и b:

A 2= c 2+ 4(1/2 · ab).

Так как А 1и А 2равны, то

a 2+ b 2+ 4(1/2 · ab) = c 2+ 4(1/2 · ab).

И, после сокращения уравнения:

а 2+b 2=с 2.

Это типичный пример геометрического доказательства, поскольку для него необходимо построить различные геометрические фигуры внутри квадратов.

Поэтому он заслуживает титула отца математики. Все амбиции математической науки, одной из самых плодотворных в интеллектуальной истории человечества, выразил немецкий математик Давид Гильберт (1862-1943) в своем "Wir mussen wissen. Wir werden wissen" ("Мы должны знать. Мы будем знать!") во втором десятилетии XX века.

Пифагор или кто-то из его школы доказал теорему, носящую его имя, так что уже невозможно сомневаться в ее истинности. Данная теорема дает нам неизменное правило. В случае с прямоугольным треугольником это отношение всегда будет выполняться. Пифагор очень высоко поднял планку для последующих поколений: уже недостаточно было найти правило, проверить его на практике много раз и признать его истинным. Теперь в математике требовалось его доказывать. И хотя в некоторых случаях это чрезвычайно сложно, подход Пифагора оказался таким плодотворным, что математики, несмотря на все трудности, не готовы отказываться от него.

В течение нескольких веков греки следовали принципам Пифагора и стремились к строгому доказательству своих результатов. Но геометр, который жил при Птолемее I (367-283 до н. э.), военачальнике Александра Великого и царе Египта, пошел еще дальше. Речь идет о Евклиде (ок. 325-265 до н. э.), который не довольствовался тем, чтобы доказывать отдельные результаты, а амбициозно захотел собрать все математическое знание своего времени в одну систему.

Евклид понял, что любое доказательство основывается на предыдущих результатах, которые, в свою очередь, были доказаны ранее. Но данный процесс не может длиться до бесконечности — нужно исходить из некоторых истин, которые считаются очевидными. Их Евклид называл аксиомами. Также должны существовать четкие определения используемых элементов; в геометрии, например, это точки, линии, треугольники, круги и так далее. На этой основе Евклид создал единую систему, в которой доказанные и предполагаемые результаты (в последнем случае — аксиомы) служат основой для доказательства других результатов. В отличие от аксиом, эти новые результаты, требующие доказательства, получили название теорем.