Рафаель Роузен: Математика для гиков

Но бутылки Клейна получили известность по другой причине: у них нет внутренней и внешней сторон. Они попросту сливаются в одно пространство. (Бутылку Клейна можно назвать аналогом ленты Мебиуса (см. главу 1.7), у которой есть только одна сторона. На самом деле, если разрезать бутылку Клейна пополам, то в итоге получатся две ленты Мебиуса.) Еще одним известным фактом является то, что бутылка Клейна не может существовать в трехмерном пространстве. Чтобы, скажем, создать ее из листа бумаги, вам для начала нужно будет сложить из него цилиндр. Затем вместо того, чтобы соединить оба конца друг с другом, образуя пончик, вы скручиваете один конец. А это невозможно сделать, если не «поднять» один конец цилиндра в четвертое измерение. Так как мы живем в трехмерном пространстве, лучшее, что мы можем сделать – это продеть один конец сквозь цилиндр и соединить скрученный конец с другим концом. Полученная фигура проходит сама через себя, но если бы мы были жителями четырехмерного пространства, то бутылка Клейна вовсе не пересекала бы саму себя.

Чтобы понять почему, представьте, что вы живете в двухмерном пространстве. Теперь представьте, что в этом пространстве есть ограниченная линия, вроде двухмерной веревки. Если кто-нибудь попросил бы вас сложить из нее цифру восемь так, чтобы веревка не пересекала себя, то вы бы понятия не имели, как это сделать. Как такое может быть возможно? Чтобы это сделать, вам нужно было бы «приподнять» линию в трехмерное пространство; в этом случае фигуру можно было создать без пересечения.

Вернемся к связи между бутылками Клейна и судьбой вселенной. Будущее вселенной – включая судьбу звезд, галактик и даже самого космоса – зависит отчасти от общего вида вселенной. Ученые называют множество возможных форм вселенной, которые были бы совместимы с их наблюдениями: некоторые формы напоминают лист бумаги, который бесконечно простирается во всех направлениях – трехмерное пространство, известное как Евклидово пространство с размерностью, равной 3, – другие же «замкнуты», это значит, что хоть они и очень большие, они в конце концов замыкаются. (Примером такой замкнутой фигуры является шар. Если вы начнете идти от одной точки на поверхности шара и будете идти по прямой, то непременно вернетесь на начальную позицию.) Однако насколько нам известно, вселенная может принимать разные формы. Мы живем на сферическом объекте, но наша окружающая обстановка подсказывает нам, что мы живем на бесконечно большой плоской равнине, то место, где мы живем во вселенной, дает нам основание полагать, что вселенная простирается по прямым линиям во всех направлениях, но на самом деле на расстояниях, за которыми мы не можем наблюдать, вселенная может выглядеть как седло или цилиндр. Или же она может иметь форму бутылки Клейна.

Так что если вы думали, что четвертое измерение не имеет никакого отношения к вашей повседневной жизни – подумайте еще раз. В действительности вы можете в нем жить.

Родился в 1849 году, преподавал математику в Геттингенском университете и проявлял небывалый интерес к геометрии. Он также был известен своим браком с внучкой философа Георга Вильгельма Фридриха Гегеля!

В математике маленькие вещи могут иметь большие последствия. Возьмите, например, полоску бумаги любой длины. Держите концы этой полоски в разных руках и поверните ее на 180 градусов. Теперь приклейте концы друг к другу. Вы только что создали настоящий математический парадокс из простых канцтоваров. Объект, который вы сделали, называется лентой Мебиуса.

Ленты Мебиуса – особое явление в математике, так как они неориентируемые, то есть имеют лишь одну сторону. Это может прозвучать как что-то невообразимое, но вы сами можете доказать ее односторонность. Возьмите карандаш и начинайте чертить линию в любой точке ленты. (Убедитесь, что вы чертите линию, параллельную ленте, чтобы карандаш не сошел с бумаги.) В конце концов карандаш вернется на начальную позицию. А что особенно важно, так это то, что черта остается на всей поверхности ленты. Если бы у ленты было две стороны – внешняя и внутренняя, – то карандашная линия была бы только на одной из сторон, вторая осталась бы нетронутой.