Рафаель Роузен - Математика для гиков

В 2006 году Netflix организовал соревнование, чтобы улучшить свой алгоритм по рекомендациям на 10 %, главный приз размером в 1 миллион долларов получила команда BellKor’sPragmatic Chaos. Ключом к победе стало то, что они предсказывали фильмы, которые понравятся людям, основываясь на разной информации, а потом сравнивали эти предсказания с оценками, которые зрители действительно в дальнейшем ставили фильмам. А рекомендации много значат для Netflix.

Некоторые примеры математического мышления, такие, как парадокс дней рождения (см. главу 3.20), являются странными и нелогичными, но другие являются настолько ненормальными, что даже профессиональные математики с трудом верят в их подлинность. Одним из таких примеров является парадокс Монти Холла, названный в честь ведущего телешоу Let’s make a deal. Решение этой проблемы настолько удивительное, что даже после тщательного объяснения большинство людей будут чувствовать, что оно не может быть верным. В какой-то степени это математический эквивалент квантовой механики (область физики, которая изучает мельчайшие компоненты веществ): странный, в него трудно поверить, но он является верным.

В передаче ведущий предлагает игроку три двери. За одной из них находится новая машина; за двумя оставшимися – коза (или что-либо другое, не такое классное, как машина). Ведущий просит игрока выбрать дверь, за которой, по его мнению, находится машина. Потом, не открывая эту дверь, ведущий открывает другую дверь, показывая козу. Теперь игрок может изменить свой изначальный выбор. Вопрос состоит в том, стоит ли игроку придерживаться первоначального выбора или выбрать другую дверь.

Ответ: игрок всегда должен выбирать другую дверь. В начале игры вероятность выбора двери с машиной равна 1 к 3, но выбор другой двери на этом этапе удваивает шансы до 2 к 3. Как это возможно? Большинство людей считает, что изменение решения не имеет значения: после того, как ведущий открывает дверь, показывая одну из двух коз, шансы на выигрыш теперь составляют 1 к 2, так как одна дверь теперь прячет машину, а другая – вторую козу.

Но это убеждение не является правильным. Вы поймете почему, если возьмете лист бумаги и напишете все возможные варианты. Суть в том, что ведущий всегда открывает дверь, за которой находится коза. (Он никогда не откроет дверь, за которой прячется машина, иначе он испортит всю игру!) Теперь без опоры на нашу интуицию давайте выясним возможные перестановки:

• Вариант 1:Игрок выбирает дверь с козой № 1. Ведущий открывает дверь с козой № 2. Первоначальный выбор приведет к козе № 1, изменение решения приведет к машине.

• Вариант 2:Игрок выбирает дверь с козой № 2. Ведущий открывает дверь с козой № 1. Первоначальный выбор приведет к козе, изменение решения приведет к машине.

• Вариант 3:Игрок выбирает дверь с машиной. Ведущий открывает дверь с козой № 1 или козой № 2. Первоначальный выбор приведет к машине, изменение решения приведет к козе.

Итак, из этих трех вариантов можно сделать вывод, что в 2 из 3 случаев изменение решения ведет к машине. Результат абсолютно нелогичный, но абсолютно верный. Такова сила математики.

Похожей проблемой является коробка Бертрана, названная в честь Джозефа Бертрана, который написал о ней в книге, вышедшей в 1889 году. Представьте три коробки: одна с двумя золотыми монетами; одна с двумя серебряными монетами; и одна с одной золотой и одной серебряной монетами. Теперь выберите одну любую коробку и любую монету. Если она золотая, то какова вероятность того, что вторая монета тоже будет золотой? Вы можете подумать, что шансы составляют 1 к 2, но на самом деле 2 к 3.

Когда вы думаете о жонглировании, вам, наверное, приходят на ум клоуны на днях рождения или цирк. Но вы, может быть, не знаете, что жонглирование стало темой для математических размышлений, одержимостью для людей, интересующихся головоломками и схемами. И как и математика, жонглирование обладает своей собственной нотацией.

Жонглерская нотация была создана независимо друг от друга жонглерами из Калифорнийского технологического института, Кембриджского университета и Калифорнийского университета в Санта-Круз в 1980-х. В жонглерской нотации каждому броску присваивается число. Нечетное число значит, что объект – скажем, мяч – подбрасывается одной рукой, а ловится другой, а четное число значит, что мяч остается в одной руке. Величина числа тоже очень важна: чем больше число, тем выше мяч подбрасывается в воздух. В броске с нотацией 3, например, мяч взлетит на уровне лица и в процессе перекинется на другую руку. В броске с нотацией 2 мяч взлетит на несколько сантиметров и будет пойман той же рукой. Страстные любители жонглирования могут делиться своими программами, записывая их с помощью жонглерской нотации, и могут использовать нотации других людей, чтобы попробовать новые конфигурации. Жонглеры также поняли, что нотация также отображает количество мячей, необходимых для той или иной программы. Количество мячей равно среднему числу всех чисел в нотации, таким образом, для программы 5551 вам понадобятся четыре мяча.