Иэн Стюарт - Величайшие математические задачи

Позвольте мне суммировать сказанное. Проективное комплексное алгебраическое многообразие похоже на кривую, определенную алгебраическим уравнением, за исключением того, что:

• число уравнений и переменных может быть любым по нашему желанию (алгебраическое многообразие);

• переменные могут быть комплексными, а не действительными (комплексность);

• переменные могут принимать бесконечные значения разумным образом (проективность).

Добавим здесь же, что несложно разобраться и с еще одним термином из формулировки: с невырожденностью. Это слово означает, что многообразие является гладким и не имеет острых гребней или мест, где его форма сложнее, чем просто гладкий кусок пространства. Поверхность Куммера, например, имеет сингулярности в 16 двойных точках. Разумеется, нам нужно еще объяснить, что означает «гладкость», когда переменные комплексны и некоторые из них могут быть бесконечными, но на это есть рутинные общепринятые методики.

Вот мы и добрались почти до середины формулировки гипотезы Ходжа. Мы уже знаем, о чем идет речь, но пока не понимаем, как, по мнению Ходжа, эта штука должна себя вести. Теперь нам нужно разобраться с самыми глубокими и в то же время формальными аспектами: алгебраическими циклами, классами и особенно классами Ходжа. Однако самую суть я могу раскрыть прямо сейчас. Все это технические средства, помогающие получить частичный ответ на фундаментальнейший вопрос о нашей обобщенной кривой: какой она формы? Оставшаяся часть формулировки — «рациональная линейная комбинация» — говорит о том, как в соответствии с общими надеждами следует ответить на этот вопрос.

Смотрите, как далеко мы продвинулись. Мы уже понимаем, что примерно представляет собой гипотеза Ходжа. Она говорит о том, что форму любой обобщенной поверхности, задаваемой некими уравнениями, можно определить при помощи каких-то алгебраических манипуляций с вещами, известными как циклы. Я мог бы сказать об этом в самом начале главы, но тогда эта формулировка вряд ли объяснила бы много больше, чем официальная. Теперь же, когда мы знаем, что такое многообразие, все понемногу проясняется.

Кроме того, все начинает сильно напоминать топологию. «Определение формы путем алгебраических вычислений» поразительно похоже на идеи Пуанкаре об алгебраических инвариантах топологических пространств. Так что следующий шаг потребует обсуждения алгебраической топологии. В активе Пуанкаре значится открытие трех важных типов инвариантов, определенных в терминах трех концепций: гомотопии, гомологии и когомологии. Нас в данном случае интересует когомология — и конечно (кто бы мог подумать!), именно ее объяснить труднее всего.

Я думаю, пора приступать.

В трехмерном пространстве с действительными координатами пересечением сферы и плоскости (если они, конечно, вообще пересекаются) является окружность. Сфера — это алгебраическое многообразие; окружность — тоже алгебраическое многообразие и притом входит в состав сферы. Мы называем это подмногообразием . В более общем случае, если взять уравнения (с большим числом переменных, комплексные, проективные), определяющие некое многообразие, и добавить к ним еще несколько уравнений, то некоторые решения — те, что не удовлетворяют новым уравнениям, — как правило, теряются. Чем больше у нас уравнений, тем меньше становится многообразие. Расширенная система уравнений определяет некоторую часть первоначального многообразия, и эта часть сама по себе тоже является многообразием — это подмногообразие.

При подсчете количества решений полиномиального уравнения иногда бывает удобно учесть одну и ту же точку несколько раз. Можно сказать, что совокупность решений состоит из множества точек, за каждой из которых мы «закрепляем» число, соответствующее его кратности. Можно, к примеру, иметь решения 0, 1 и 2 с кратностью 3, 7 и 4 соответственно. Многочлен в этом случае будет x 3( x − 1) 7( x − 2) 4, если вам это интересно. Каждая из трех точек x = 0, 1 или 2 является (достаточно тривиальным) подмногообразием множества комплексных чисел. Поэтому решения этого полиномиального уравнения можно описать как список из трех подмногообразий с прикрепленным к каждому из них целым числом (вроде этикетки).

Алгебраический цикл выглядит примерно так же. Вместо отдельных точек мы можем использовать любой конечный список подмногообразий, присоединив к каждому из них числовую метку, не обязательно целую. Меткой может быть отрицательное целое число, рациональное число, действительное или даже комплексное число. По разным причинам в гипотезе Ходжа в качестве меток используются рациональные числа, о чем свидетельствует формулировка «рациональная линейная комбинация». К примеру, в качестве первоначального многообразия может выступать единичная сфера в 11-мерном пространстве; тогда список, о котором идет речь, мог бы выглядеть так: