Андрей Райгородский - Кому нужна математика? Понятная книга о том, как устроен цифровой мир

В процессе работы все менеджеры постепенно переключились на систему «коллег-профессоров». Команда написала книгу «Планирование производства, инвентаря и трудовых ресурсов». Модильяни и Симон получили Нобелевские премии по экономике, а работы Муфа легли в основу исследований Роберта Лукаса, тоже впоследствии лауреата Нобелевской премии.

Методы исследования операций глубоко внедрились в современный бизнес. Никому не придет в голову планировать большое производство или составлять расписание самолетов вручную. Для этого есть подготовленные специалисты и стандартное коммерческое программное обеспечение. Даже самый элементарный подход в рамках исследования операций всегда превзойдет любое решение «на глазок». Исследование операций преподают не только на факультетах прикладной математики, но и в бизнес-школах.

В этой главе мы расскажем о задачах оптимизации, которые, в частности, возникают при планировании и составлении расписаний.

Сложность задач оптимизации заключается в невообразимом множестве возможных решений. Чтобы продемонстрировать масштаб проблемы, давайте посмотрим на самый простой вариант расписания.

У нас есть один прибор, на котором нужно выполнить 25 заданий. Спрашивается: в каком порядке выгоднее всего это делать? «Выгода» может зависеть от срока выполнения, времени, проведенного в очереди, и других факторов.

Задача непростая, о ней написана не одна диссертация. Но, допустим, мы решили поступить наипростейшим образом. Берем самый мощный компьютер и пишем программу, которая считает прибыль и убытки для каждой возможной последовательности заданий. После этого выбираем наиболее выгодную последовательность.

Теоретически все правильно. Но прежде чем запустить программу, давайте посчитаем, сколько разных последовательностей ей придется перебрать.

На первое место можно поставить любое из 25 заданий. Для каждого из 25 вариантов для первого места у нас есть 24 варианта для второго места. Получается, что первые два места можно заполнить

25 × 24 = 600

способами. Продолжаем: 23 варианта для третьего места, 22 – для четвертого и так далее. Всего у нас получается

25 × 24 × 23 × 22 × 21 × 20 × 19 × 18 × 17 × 16 × 15 × 14 × 13 × 12 × 11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 15511210043330985984000000

способов.

Это число называется двадцать пять факториал и обозначается «25!». Насколько оно велико? Если взять современный процессор с тактовой частотой 2 ГГц (2 млрд операций в секунду), то для выполнения такого количества операций ему понадобится 245 млн лет! А на то, чтобы просчитать все варианты, с прибылью и убытками, да еще и перемещать информацию в памяти компьютера, – и того больше. А ведь задачка казалась совсем простой, всего один прибор, всего 25 заданий. Не сравнить с серьезным современным производством.

Такое явление называется проклятием размерности . Даже при скромном количестве вводных данных степень свободы в выборе решения колоссальна. Перебрать все варианты просто невозможно. Значит, понадобятся другие подходы, более умные и нетривиальные, и именно для этого нужна математика.

Для некоторых задач удается найти гарантированно лучший ответ относительно быстро. Но для целого разряда так называемых NP-трудных задач, как, например, упомянутая выше задача об упаковке, сложно придумать метод, который работал бы намного быстрее, чем тривиальный полный перебор всех вариантов. Удастся ли когда-нибудь? Это открытый вопрос, но большинство ученых считают, что нет, потому что таких методов просто не существует. Многие практические задачи NP-трудные. В этом случае математики стремятся к быстрым и «почти» оптимальным решениям. А на практике приходится мириться с тем, что ответ достаточно хороший, но не всегда самый выгодный из возможных.

Разных методик для разных задач придумано множество. Мы расскажем о линейном программировании . Это мощная и уже ставшая классической теория, которая невероятно успешно применяется на практике.

Как возникают задачи линейного программирования, мы объясним на еще одном простом примере.

Допустим, у нас есть два склада: на северном и на южном конце города. В офис поступили заказы от двух клиентов. Клиент А заказал 60 листов железа, а клиент Б – 40 листов. На южном складе у нас в наличии 70 листов железа, а на северном – 35, то есть общего запаса хватает. Но мы хотим свести расходы на доставку к минимуму. Цены доставки приведены в табл. 2.1.