Виталий Сигорский - Математический аппарат инженера

8. Запишите множества, получаемые в результате следующих операций над множествами из задачи 7: A ∪ B, A ∩ B, A ∩ C, A ∩ D, C\A, C\D, C + D̅. Сформулируйте определяющие свойства каждого из полученных множеств.

9. Три прибора x, y, z сравнивают по двум показателям, причем выделяют тот из приборов, у которого данный показатель наилучший (случаи одинаковых показателей исключаются).

а) Образуйте множество U всевозможных исходов такого сравнения, обозначив элементы этого множества упорядоченными парами букв для приборов с наилучшими показателями (например, исход yx означает, что по первому показателю лучшим оказался прибор y, а по второму — прибор x).

б) Сколько элементов содержит множество всевозможных исходов сравнения m приборов по n показателям?

в) Перечислите элементы множеств возможных исходов, при которых прибор оказывается лучшим по первому показателю (A), по второму показателю (B), хотя бы по одному показателю (C), по обоим показателям (D), не является лучшим ни по одному показателю (E).

10. Для множеств A, B, C, D, E из задачи 9в дайте ответы на следующие вопросы:

а) Какие множества выражаются через объединение, дополнение, пересечение других множеств?

б) Какому множеству соответствует разность А \ В и каков его смысл?

в) Какие множества связаны между собой отношением включения?

г) Какому множеству соответствует дизъюнктивная сумма А+В и каков его смысл?

11. На примере множеств А и В из задачи 9в покажите справедливость соотношения A\B = A ∩ B̅ и проиллюстрируйте его с помощью кругов Эйлера.

12. Что можно сказать от отношениях между множествами A, B, C, представленными кругами Эйлера на рис. 4? Запишите с помощью операций над множествами выражения для множеств, соответствующих заштрихованными областями.

13. Для написания цифр почтового индекса используют множество из девяти элементов, которые обозначены буквами на рис. 5, а, а сами цифры изображены на рис. 5, б.

а) Сколько различных фигур можно изобразить с помощью всевозможных комбинаций из элементов исходного множества, считая, что в каждой такой комбинации может участвовать от 0 до 9 элементов? Какой процент этих комбинаций используется для начертания цифр?

- 27 -

б) Запишите множества A k(k = 0,1, ... , 9) элементов каждой из десяти цифр ( например, A 7= {a, c, f}). Имеются ли среди них непересекающиеся множества?

в) Запишите для каждого из элементов s ( s = a, b, ... , i) множество B s, состоящее из цифр, в написании которых используется элемент s (например, B f= {0, 6, 7, 8}). Какие элементы используются наиболее редко и наиболее часто?

Рис. 4. Круги Эйлера к задаче 12.

г) Считая мерой близости цифр количество общих элементов, укажите цифры, наименее и наиболее близкие цифре 3. Какой операции над множествами A kсоответствует множество, определяющее меру близости цифр?

14. В химическом продукте могут оказаться примеси четырех видов, обозначенных через a, b, c, d. Приняв в качестве исходного множества A = {a, b, c, d}, образуйте множество всех его подмножеств Р(А). Дайте содержательное истолкование этого множества и его элементов. Каким ситуациям соответствуют, в частности, несобственные подмножества?

Рис. 5. Начертание цифр почтового индекса:

а- элементы исходного множества; б — цифры.

15. Докажите, что для конечного множества, состоящего из n элементов, множество всех его подмножеств содержит 2 nэлементов.

16. Проверьте свойство транзитивности отношения включения на примере множеств X = {b, c}, Y = {a, b, c}, Z = {b}.

17. Дайте словесное описание каждому из следующих множеств:

а) {x|x — точка плоскости, находящаяся на расстоянии r от начала координат};

б) {x|x 2— 4x + 3 = 0};

в) {x|x — инженер нашего отдела};

г) {x|x ∈ A и z ∈ B }; A — множество транзисторов; В — множество деталей радиоприемника;

д) {x ∈ R |x = 3k, k ∈ N} N — множество натуральных чисел;

е) {x 2+ 1 |x - целое число}

18. Покажите, что для любых множеств А и В справедливо соотношение ∅ ⊂ A ∩ B ⊂ A ∪ B

19. Покажите, что для любого множества А справедливы соотношения: A + A = ∅; A + ∅ = A.

20. Покажите, что из соотношения A ∩ B = C следует C ⊂ A и C ⊂ B.

21. Пусть M 1и M 2— соответственно множества деталей первого и второго механизмов, а Р — множество пластмассовых деталей. Запишите в виде теоретико-множественных соотношений следующие условия.