Жюль Пуанкаре - Теорема века. Мир с точки зрения математики

Из всех теорем Analysis Situs самая важная – та, которая выражается словами: пространство имеет три измерения. Этой теоремой мы сейчас займемся, причем поставим вопрос в таком виде: что мы хотим сказать, когда говорим, что пространство имеет три измерения?

В «Науке и гипотезе» я выяснил, откуда у нас появляется понятие физической непрерывности и как из него могло возникнуть понятие математической непрерывности. Случается, что мы бываем способны отличать друг от друга два впечатления, не будучи в состоянии отличить каждое из них от одного и того же третьего. Так, мы легко можем отличить вес 12 граммов от веса 10 граммов, тогда как невозможно отличить вес 11 граммов ни от того, ни от другого.

Подобное утверждение символически можно представить так:

А = В, В = С, А < С.

Это была бы формула физической непрерывности, как дает ее нам непосредственный опыт. Происходящее отсюда нетерпимое противоречие устраняется введением математической непрерывности. Эта последняя представляет собой лестницу с бесконечно большим числом ступеней (числа соизмеримые или несоизмеримые), причем эти ступени занимают по отношению друг к другу внешнее положение, а не захватывают друг друга, как это имеет место, сообразно с предыдущей формулой, между элементами физической непрерывности.

Физическая непрерывность есть, так сказать, неразрешенная (не разложенная на составные элементы) туманность, и самые совершенные инструменты не могли бы разрешить ее. Конечно, если бы мы определяли вес с помощью хороших весов, а не просто рукою, то мы бы отличили вес 11 граммов от весов 10 и 12 граммов, и тогда наша формула представилась бы так:

А < B, В < С, А < С.

Но между А и В и между В и С всегда нашлись бы такие новые элементы D и F , что

А = D, D = В, А < В; В = Е, E = С, В < С;

трудность только передвинулась бы; туманность всегда оставалась бы неразрешенной; разрешить ее может только мышление – и математическая непрерывность есть именно туманность, разрешенная на отдельные звезды.

Однако до сих пор мы не вводили понятия о числе измерений. Что мы хотим сказать, когда говорим, что математическая непрерывность или физическая непрерывность имеет два или три измерения?

Нам надо прежде всего ввести понятие купюры, приспособляя это понятие сначала к исследованию физических непрерывностей. Мы видели, чем характеризуется физическая непрерывность; каждый элемент этой непрерывности состоит из совокупности впечатлений; может случиться: либо что один элемент не может быть отличен от другого элемента той же непрерывности, если этот новый элемент соответствует совокупности слишком мало разнящихся впечатлений, либо, напротив, что отличение возможно; наконец, может быть и так, что два элемента, неотличимые от одного и того же третьего, тем не менее могут быть отличены друг от друга.

После этого, если А и В суть два различимых элемента непрерывности С , то можно найти ряд элементов E 1, E 2, …, E n, принадлежащих той же самой непрерывности С и притом таких, что каждый из них неотличим от предыдущего; таких будет элементом, неотличимым от A , а Е n– от В . Поэтому можно будет переходить от А к В непрерывным путем, в то же время не выходя из С . Если это условие выполнено для двух любых элементов А и В непрерывности С , то мы можем сказать, что эта непрерывность С односвязна .

Теперь выделим некоторые из элементов С , которые могут или все быть отличены друг от друга, или же могут сами образовать одну или несколько непрерывностей. Совокупность элементов, таким образом произвольно выбранных из всех элементов С , даст то, что я назову купюрой или купюрами.

Возьмем снова на С два любых элемента А и В . Тогда или можно будет найти еще ряд элементов E 1, E 2, …, E n, таких, чтобы: 1) все они принадлежали С ; 2) чтобы каждый из них был неотличим от следующего; E 1неотличим от A и Е n– от В ; 3) кроме того, чтобы каждый из элементов Е отличался от каждого из элементов купюры. Или же, напротив, во всех рядах Е 1 Е 2, …, Е n, удовлетворяющих первым двум условиям, будет содержаться элемент Е n, неотличимый от одного из элементов купюры. В первом случае мы можем идти от A к В непрерывным путем, не выходя из С и не встречая купюр; во втором случае это невозможно.