Жюль Пуанкаре - Теорема века. Мир с точки зрения математики

Но этого бы не было, если бы мы пользовались конкретными образами – если бы, например, смотрели на эту функцию как на электрический потенциал; можно было бы справедливо утверждать, что электростатическое равновесие может быть достигнуто. Однако, может быть, сравнение из физики возбудило бы некоторое смутное недоверие. Но если бы постараться перевести рассуждение на язык геометрии, средний между языком анализа и физики, то этого недоверия, без сомнения, не возникало бы и, таким образом, может быть, можно было бы еще теперь обмануть многих непредубежденных читателей.

Итак, интуиция не дает нам достоверности. Вот почему должна была возникнуть эволюция; теперь посмотрим, как она возникла.

Вскоре заметили, что строгость не могла бы иметь места в рассуждениях, если не ввести ее сначала в определения.

Долгое время предметы, которыми занимаются математики, были по большей части плохо определены; думали, что знают их, потому что представляли себе их при помощи чувств или воображения; но получался только грубый образ, а не ясная идея, на которой можно было бы строить рассуждение.

Вот сюда-то прежде всего логики и должны были направить свои усилия.

Точно то же произошло и для иррационального числа.

Смутная идея непрерывности, которой мы обязаны интуиции, разрешилась в сложную систему неравенств, касающуюся целых чисел.

Благодаря ей трудности при переходе к пределу или при рассмотрении бесконечно малых окончательно устраняются.

Теперь в анализе остаются только целые числа или конечные и бесконечные системы целых чисел, связанных между собой сетью отношений равенства или неравенства.

Математика, как говорят, арифметизировалась.

Прежде всего возникает вопрос: закончилась ли эта эволюция?

Достигли ли мы наконец абсолютной строгости? Ведь на каждой стадии эволюции наши предки также верили в то, что достигли ее. Если они ошибались, то не ошибаемся ли и мы подобно им?

Мы надеемся уже не прибегать в наших рассуждениях к интуиции; философы скажут нам, что это иллюзия. Чистая логика всегда приводила бы нас только к тавтологии; она не могла бы создать ничего нового; сама по себе она не может дать начало никакой науке.

Эти философы правы в одном смысле: для того чтобы создать геометрию или какую бы то ни было науку, нужно нечто другое, чем чистая логика.

Для обозначения этого другого у нас нет иного слова, кроме слова «интуиция». Но сколько различных идей скрывается под одним и тем же словом?

Сравним такие четыре аксиомы:

1) Две величины, равные третьей, равны между собой.

2) Если теорема справедлива для 1 и если доказывается, что она справедлива для n + 1, когда справедлива для n , то она будет справедлива для всех целых чисел.

3) Если точка С лежит на прямой между А и В , а точка D между A и С , то точка D будет лежать между А и В .

4) Через одну точку можно провести только одну прямую, параллельную данной прямой.

Все четыре аксиомы должны быть приписаны интуиции, и однако же первая является выражением одного из правил формальной логики; вторая – настоящее синтетическое суждение a priori, это – основание строгой математической индукции; третья есть обращение к воображению; четвертая – скрытое определение.

Интуиция не основывается неизбежно на свидетельстве чувств; чувства скоро оказались бы бессильными; мы не можем, например, представить себе тысячеугольника и однако же интуитивно рассуждаем о многоугольниках вообще, а они включают в себя как частный случай и тысячеугольник.

Вам известно, что подразумевал Понселе под принципом непрерывности. То, что справедливо для действительной величины, говорил Понселе, должно быть справедливо и для мнимой; то, что справедливо для гиперболы, асимптоты которой действительны, должно быть поэтому справедливо и для эллипса, асимптоты которого мнимые.

Понселе был одним из самых интуитивных умов в этом веке; он был страстным интуитивистом и чуть ли не гордился этим; он видел в принципе непрерывности одну из самых смелых своих концепций, и однако этот принцип не покоился на свидетельстве чувств – уподоблять гиперболу эллипсу было скорее противоречием этому свидетельству. Здесь имело место лишь какое-то поспешное инстинктивное обобщение, что, впрочем, я не хочу отстаивать.

Итак, мы имеем несколько родов интуиции; сначала обращение к чувствам и воображению; затем обобщение посредством индукции, так сказать, срисованное с приемов экспериментальных наук; Наконец, мы имеем интуицию чистого числа, ту интуицию, из которой вышла вторая из только что приведенных мною аксиом и которая может дать начало настоящему математическому умозаключению.