Бен Орлин - Математика с дурацкими рисунками. Идеи, которые формируют нашу реальность

Первая: чем больше монет, тем сильнее расцветает сложность. Добавим одну монету, и количество потенциальных исходов увеличится вдвое, от 2 до 4, до 8, до 16. Подбрасывая десять монет, мы рассчитываем на чуть более чем тысячу различных исходов.

Подбросьте 50 монет, и количество исходов возрастет до 2 50, то есть больше квадриллиона. Эта тенденция агрессивного роста известна под названием комбинаторный взрыв . Линейный рост количества объектов ведет к экспоненциальному росту количества их комбинаций. Горсть монет, при всей своей кажущейся простоте, порождает непостижимое разнообразие.

Вторая тенденция обратная: даже если число вариантов быстро возрастает, доля необычных исходов сильно сокращается. Удостоверьтесь в этом на примере с четырьмя монетами, приведенном выше: есть всего два необычных варианта (все орлы и все решки) против 14 обыкновенных. Чем больше монет мы подбрасываем, тем меньше число необычных вариантов и тем глубже мы увязаем в трясине с практически равным соотношением орлов и решек.

Причина проста. Обычные исходы обычны именно потому, что есть много вариантов получить их. В то же время необычные результаты необычны именно потому, что их редко можно получить [102] Та же логика лежит в основе концепции энтропии, тенденции Вселенной к беспорядку. Вообразите множество кирпичей. Есть крайне мало способов построить из них здание и много тоскливых, однообразных способов свалить их в кучу или разбить на осколки. Со временем случайные изменения накапливаются; есть почти нулевая вероятность, что кирпичи сами собой образуют здание; скорее всего, они всё больше будут рассыпаться. Таким образом, время предпочитает осколки, а не кирпичи. Точно так же у частиц пищевого красителя есть крайне мало способов собраться всем вместе с одной стороны стакана воды; все молекулы тогда как будто перекувыркнутся через голову. Но у этих частиц есть много-много способов более или менее равномерно распределиться внутри жидкости; каждое распределение будет похоже на уникальную комбинацию орлов и решек. Именно поэтому случайные процессы сумасбродно и неумолимо ведут к увеличению энтропии, равномерному смешению составных частей Вселенной. Космическое предпочтение беспорядка по сути своей комбинаторно. .

Предположим, мы подбрасываем 46 монет. Есть всего один вариант, когда все они выпадают орлом кверху.

Но допустим, нас интересуют исходы, когда единожды все-таки выпадает решка — возможно, это первая монета, или вторая, или третья, или четвертая, или пятая… и так далее вплоть до сорок шестой. Таким образом, есть 46 вариаций.

Сколько вариантов с двумя решками и 44 орлами? Еще больше. Решкой кверху могут выпасть первая и вторая монеты, или первая и третья, или первая и четвертая… или первая и последняя… или вторая и третья, или вторая и четвертая, или вторая и пятая… вплоть до второй и сорок шестой. В общей сложности есть более чем 1000 вариаций. Еще теплее! Наиболее вероятный исход — 23 орла и 23 решки — подразумевает восемь триллионов различных вариантов.

Я не экстрасенс, но если вы подбросите 46 монет, то я предвижу, что произойдет одно из двух:

1. От 16 до 30 монет выпадут орлом кверху [103] Вероятность этого варианта — около 96 %, поэтому в одном случае из 25 мое пророчество не сбудется. Однако если хотя бы 25 читателей действительно подбросят 46 монет, то аудитория научно-популярных книг по математике еще более упертая, чем я подозревал. .

2. Ваша последовательность будет исторической аномалией, уникальной в опыте всего человечества. Ни один подбрасыватель 46 монет еще не достиг ровно такого результата!

Отчего-то первый результат (серединный) затмевает второй (великолепный и уникальный). Для нас все монеты взаимозаменяемы, поэтому любая примерно сбалансированная последовательность орлов и решек будет казаться нам обычной и забудется, как снежинка во время метели.

Но представьте, что нас интересует структура этой снежинки. Представьте, что каждая последовательность орлов и решек для нас — особый поворот судьбы. Что, если нас тревожит не просто количество, но и конкретная последовательность орлов и решек?

Тогда любая из 70 триллионов возможных комбинаций станет для нас настолько исчезающе маловероятной, настолько вопиюще неожиданной, что ее появление покажется чудом. Она заворожит нас, словно звезда, сорвавшаяся с неба прямо к нам в руки. Эта последовательность 46 орлов и решек будет бесценна, как… ну, новорожденный малыш.