Эдвард Шейнерман: Путеводитель для влюбленных в математику

Что касается парадокса Ньюкома, мы сделали два неявных допущения.

Первое допущение – относительно Игрока. Может ли он сделать независимый выбор? Обладают ли человеческие существа свободной волей? Разумеется, нельзя (и мы даже не будем пытаться) в точности разрешить эту старую как мир философскую проблему [233] Просто для справки: конечно же, вы обладаете свободой воли. Я не знаю, как вам могло прийти в голову, что это не так! .

Второе – относительно Предсказателя. Действительно ли он способен предвидеть поступки другого человека? Ясно, что в целом поведение людей может быть предсказано с большой долей уверенности. Но в нашей игре Предсказатель пытается предугадать выбор одного-единственного индивидуума, а ведь это весьма зыбкая материя. Точность 95 % неправдоподобно высока.

Однако вот что интересно: противоречие не исчезает, даже если Предсказатель прав в 51 % случаев! Аргумент «не оставляйте деньги на столе» по-прежнему не работает. Вот расчет среднего выигрыша:

• Если вы берете только ящик № 2, средний выигрыш составляет 1 000 000 × 0,51 + 0 × 0,49 = 510 000 долларов.

• Если вы берете оба ящика, средний выигрыш составляет 1 000 × 0,51 + 1 001 000 × 0,49 = $491 000 долларов.

Даже если Предсказатель предугадывает ваше решение с точностью 51 %, вам лучше выбрать только ящик № 2! Разница в средних выигрышах на сей раз невелика, поэтому расчеты не вызывают особых эмоций, но выигрышная стратегия остается прежней [234] А теперь головоломка: найдите уровень точности предсказаний, при котором обе стратегии дают одинаковый средний выигрыш, и противоречие исчезает. Ответ – в конце главы. .

Итак, вот два допущения, приводящих к парадоксу:

– Игрок обладает свободой воли;

– Предсказатель предугадывает решение Игрока с высокой точностью.

Иными словами, свобода выбора и уверенное предсказание будущего несовместимы.

Вообразим, что в роли Игрока – компьютерная программа, а в роли Предсказателя – мы, человеческие существа. По правилам, Игроку запрещено играть в орлянку; таким образом, компьютер не должен совершать случайного выбора [235] На самом деле большинство компьютеров содержит генератор псевдослучайных чисел. Компьютерная программа генерирует случайные величины, но, разумеется, следует четкому алгоритму. В главе 21 рассказано, как детерминированные процессы могут приводить к непредсказуемым результатам. .

У компьютера есть все те же две возможности: выбрать оба ящика или только ящик № 2. Как он поступит?

Мы можем с легкостью предсказать выбор компьютера. Нам нужно всего лишь сделать копию компьютерной программы, запустить на другом компьютере и следить за ее действиями. Наше предсказание будет идеальным (если компьютер не заглючит). Когда игра начнется, мы убедимся в безошибочности предсказания. Практически без исключений выбор двух ящиков принесет компьютеру тысячу долларов, а выбор ящика № 2 принесет миллион долларов.

Если нас попросят разработать программу для парадокса Ньюкома, наше решение будет кристально ясно. Вот вся программа:

print («Я беру только ящик № 2»)

Мы запускаем программу, компьютер каждый раз получает миллион долларов, и мы счастливы.

Нет никакого резона выбирать оба ящика. Действия компьютера полностью предсказуемы (потому что мы имеем дело с машиной, а не с человеком), и выбор двух ящиков всякий раз будет приносить всего лишь 1000 долларов.

Почему противоречие возникает, когда в роли Игрока оказывается человек, и пропадает, когда в роли Игрока выступает компьютер? Парадокс Ньюкома подразумевает свободу воли: никакой Предсказатель не в силах в точности предвидеть наши действия.

На русском языке

1. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике . – М.: Мир, 1965.

2. Харди Г. Г. Апология математика. – Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000.

На английском языке

1. Peter Beckmann. A History of π . St. Martin’s Press, third edition, 1976.

Edward B. Burger and Michael Starbird. The Heart of Mathematics: An Invitation to Effective Thinking . Wiley, third edition, 2009.

2. Underwood Dudley. A Budget of Trisections . Springer, 1987.

3. Richard P. Feynman, Robert B. Leighton, and Matthew Sands. The Feynman Lectures on Physics . Addison-Wesley Publishing Company, 1963.

4. Martin Gardner. Free will revisited, with a mind-bending prediction paradox Newcomb . Scientific American, 229, July 1973.