Йэн Стюарт - Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса [litres]

Как же удалось достичь такого расцвета этой невиданной области? Всё началось 10 тыс. лет назад на Ближнем Востоке с маленьких глиняных фигурок. Даже тогда счета содержали сведения о том, кто чем владел и в каком количестве, – хотя еще не было ни письма, ни знаков для чисел. Вместо знаков древние счетчики использовали маленькие глиняные фигурки. Одни имели форму сферы, другие – конуса, третьи – яйца. Были и цилиндры, и диски, и пирамиды. Археолог Дениз Шмандт-Бессера пришла к выводу, что фигурки представляли основные ценности того времени. Глиняные сферы обозначали меры зерна, цилиндры – животных, яйца – кувшины масла. Самые древние фигурки датируются 8000 г. до н. э., и их широко использовали в последующие 5000 лет.

Со временем фигурки становились всё более изысканными и специализированными. Были найдены конусы в виде ломтей хлеба и даже ромбовидные символы пива. Шмандт-Бессера считает, что эти фигурки – не просто приспособления для счета. Это первый, самый важный шаг к изобретению цифровых символов, арифметики и математики. Однако из-за своей необычности он кажется случайным.

Всё произошло потому, что фигурки использовались для записи: возможно, собранных налогов, или финансовых операций, или как законное доказательство права на собственность. Их достоинством была простота, с которой счетчики могли поделить их на группы, чтобы определить, сколько животных или зерна имеет или имел человек. Но был и недостаток: фигурки легко подделывались. Для предотвращения махинаций с ними счетчики стали заворачивать их в своего рода глиняные конверты – аналог печати. Чтобы определить, сколько каких фигурок в каждом конверте, его было достаточно разбить. Восстановить его не составляло особого труда.

Всё же необходимость постоянно раскалывать и восстанавливать конверты казалась чиновникам древней Месопотамии слишком утомительной, и они придумали кое-что получше. Они стали метить конверты особыми символами, обозначающими их содержимое. Если там было семь сфер, то и на конверте они рисовали семь кружков.

Наступил момент, когда до месопотамских чиновников дошло: если есть символы, то можно обойтись и без фигурок; чтобы знать, что внутри конверта, нет нужды его разбивать. В результате этого очевидного, но судьбоносного открытия появился набор письменных символов для чисел, разной формы для разных классов предметов. Все прочие, включая и те, которыми пользуемся мы, – производные от этих бюрократических приспособлений древности. Именно замену фигурок символами можно считать изобретением письменности.

Первые знаки нельзя считать ранними примерами записи чисел. Это просто царапины, метки, выражающие числа в виде серии насечек, например ||||||||||||| для обозначения 13. Самая древняя из известных на сегодняшний день таких надписей – 29 насечек на бедренной кости бабуина, сделанная 37 тыс. лет назад. Эту кость нашли в пещере в горах Лебомбо, на границе между Свазилендом и ЮАР. Место называется Пограничной пещерой, а артефакт – костью Лебомбо.

В отсутствие машины времени нельзя с уверенностью утверждать, что означал каждый символ, но можно делать обоснованные предположения. В лунном месяце 28 дней, значит, насечки, должно быть, связаны с фазами Луны.

В Европе обнаружены похожие артефакты. Пятьдесят семь насечек на волчьей кости из бывшей Чехословакии разбиты на 11 групп по пять с двумя лишними; этой находке 30 тыс. лет. Дважды по 28 будет 56: это может быть обозначение для двухмесячного лунного отрезка времени. И снова у нас нет способа проверить это предположение. Но насечки явно что-то значат, их сделали не просто так.

Еще одна древняя математическая запись, на кости Ишанго из Заира, была сделана 25 тыс. лет назад (прежняя оценка в 6000–9000 лет пересмотрена учеными в 1995 г.). На первый взгляд эти царапины по краям кости кажутся случайными, но здесь может быть скрытый смысл. Один ряд состоит из простых чисел от 10 до 20: это 11, 13, 17 и 19, и в сумме они дают 60. В другом ряду мы видим 9, 11, 19 и 21, что также в сумме равно 60. Третий ряд представляет способ умножения двух чисел: одно из них несколько раз удваивают, а другое делят пополам. Но не исключено, что всё это лишь совпадение или что кость Ишанго – древний лунный календарь.

Исторический путь от счетных фигурок к современным цифрам долог и извилист. Тысячелетиями народ Месопотамии развивал сельское хозяйство, и на смену кочевому образу жизни пришел оседлый, породив ряд городов-государств: Вавилон, Эриду, Лагаш, Шумер, Ур. Ранние символы на глиняных табличках усложнились до пиктограмм, передающих значения слов в упрощенном виде. Они упрощались всё больше и больше, и в итоге осталось ограниченное число клиновидных отметин, выдавленных на глине сухой палочкой с острым плоским концом. Меняя угол давления, можно было получать отметки разной формы. К 3000 г. до н. э. шумеры создали сложную письменность, названную клиновидной.