Рэймонд Смаллиан - Принцесса или тигр

правило MIII: если число X порождает число У, то число 4Х порождает число У (как и в случае предыдущей машины);

правило MIV: если число X порождает число У, то число 5Х порождает число УУ (как и в случае предыдущей машины).

— Эта машина, — продолжал Мак-Каллох, — обладает всеми прекрасными свойствами моей последней машины — она подчиняется двум твоим принципам и, кроме того, закону двойных аналогов Фергюссона.

Крейг довольно долго и внимательно изучал эти правила. Наконец он сказал:

— Что-то мне никак не удается сдвинуться с места. Не могу даже найти число, которое порождает само себя. Есть тут такие числа?

— Есть, — ответил Мак-Каллох, — но с помощью этой машины найти их гораздо труднее, чем в предыдущем случае. Честно говоря, я тоже не смог решить эту задачу. А вот Фергюссон с ней справился. Более того, теперь мы знаем, что такое короткое число, порождающее само себя, состоит из десяти цифр.

Крейг опять глубоко задумался.

— А что, первых двух правил недостаточно для нахождения такого числа? — поинтересовался он наконец.

— Нет, конечно! — ответил Мак-Каллох. — Для получения этого числа нам необходимы все четыре правила.

— Удивительное дело, — пробормотал Крейг и вновь погрузился в глубокое раздумье.

— О господи! — вдруг воскликнул он, буквально подскочив на стуле. — Да ведь это же решение загадки сейфа!

— О чем это вы? — спросил Фергюссон.

— А-а, прошу прощения! Вы ведь не знаете, — сказал Крейг и поведал им всю историю с банковским сейфом из Монте-Карло.

— Надеюсь, вы понимаете, что наш разговор сугубо конфиденциальный, — заключил свой рассказ Крейг. — А теперь, Мак-Каллох, если ты дашь мне число, которое порождает само себя, то я сразу же смогу назвать комбинацию, которая откроет замок сейфа.

Итак, читателю предлагаются три задачи.

1) Какое число X порождает само себя в последней машине?

2) Какая комбинация открывает замок сейфа?

3) Как связаны между собой первые два вопроса?

Рано утром следующего дня Крейг, подыскав надежного человека, отправил в Монте-Карло пакет, адресованный Мартинесу, в котором была записана найденная им накануне кодовая комбинация. Курьер прибыл вовремя, и сейф был благополучно открыт.

Как и обещал Мартинес, совет директоров банка прислал Крейгу солидное денежное вознаграждение. Крейг настоял на том, чтобы разделить эти деньги с Мак-Каллохом и Фергюссоном. Свой успех трое друзей решили отпраздновать, заказав шикарный ужин в ресторане «У льва».

— А знаете, — сказал Крейг, отведав превосходного хереса. — Пожалуй, это было одно из самых интересных дел в моей практике. Подумать только, числовые машины, созданные из чисто интеллектуального любопытства, и вдруг оказывают такую неоценимую помощь на практике!

Сначала еще несколько слов о загадке сейфа из Монте-Карло. В последнем условии Фаркуса не говорится, что требуемая комбинация у непременно должна отличаться от комбинации х. Поэтому если предположить, что х и у представляют собой одну и ту же комбинацию, то указанное условие можно будет прочитать так: «Пусть комбинация х родственна по отношению к комбинации х, тогда если комбинация х блокирует замок, то комбинация х будет нейтральной; если же комбинация х оказывается нейтральной, то комбинация х блокирует замок». Однако невозможно, чтобы комбинация х одновременно была нейтральной и блокировала замок. Следовательно, если комбинация х родственна но отношению к х, тогда эта комбинация не может ни оказаться нейтральной, ни блокировать замок. А значит, она должна этот замок открывать! Таким образом, если мы сумеем найти комбинацию х, которая родственна самой себе, то такая комбинация х обязательно откроет нам замок.

Конечно, Крейг понял это еще задолго до того, как вернулся в Лондон. Но как найти комбинацию х, которая родственна самой себе? Именно на этот вопрос Крейг и не мог ответить до тех пор, пока судьба не столкнула его с третьей машиной Мак-Каллоха.

Оказывается, задача нахождения комбинации, которая, согласно условию Фаркуса, является родственной самой себе, по своей сути тождественна задаче нахождения числа, которое порождает само себя в последней машине Мак-Каллоха. Единственное существенное отличие заключается в том, что кодовые комбинации для замка — это цепочки букв, тогда как числовые машины работают с цепочками цифр. Однако первую задачу можно легко преобразовать ко второй, и наоборот, следующим простым приемом.