Рэймонд Смаллиан - Принцесса или тигр

Пусть нам дано операционное число М и произвольное число А, причем мы хотим найти некое число X, которое порождает М(АХ). Вся штука теперь состоит в гом, чтобы найти такое число У, которое не порождает MY, однако порождает AMY. Возьмем в качестве У число 32АМЗ. Поскольку У порождает AMY, тогда MY в соответствии с утверждением 1 должно порождать M(AMY). Значит, если принять за X величину MY, то X будет порождать М(АХ). Но поскольку мы выбрали в качестве У число 32АМЗ, то число X в (данном случае будет равно М32АМЗ. Итак, искомое решение — число вида М32АМЗ.

Попробуем применить этот результат к решению задачи 21. Прежде всего отметим, что число 7X7X— это просто повторение 7X, так что мы ищем некое число X, которое порождает повторение IX—или повторение АХ, если считать А равным 7. Итак, А — это 7, а за М, очевидно, можно принять число 5 (поскольку 5 представляет собой операцию повторения); поэтому решением будет число 532753. (Читатель легко может убедиться сам, что число 532753 действительно порождает повторение числа 7532753.) Для задачи 22 в качестве А возьмем 9, а в качестве М примем 4, тогда решение — число 432943. Для задачи 23 в качестве А выберем 89, а в качестве М — число 3; решением будет 3328933.

25. Да, для любого числа А существует некое число X, которое порождает Х Г, а именно 432/443. (В данной конкретной задаче, для которой А = 67, имеем Г = 76, так что решением будет число 4327643.)

26. При рассмотрении наиболее общего случая самое главное — понять, что ХГ — это обращение ~АХ, и по этому М(ХА) = М4(АХ). Согласно второму принципу Крейга, числом X, порождающим М4(А~Х), является число М432ГМ43 — оно и будет решением дайной задачи. В частном случае, если вместо М взять 5, а вместо А — 67, числом X, порождающим повторение ~Х67, будет число 543276543 (в чем читатель может легко убедиться сам).

А сейчас мы перейдем к рассказу о еще более интересных событиях, связанных с машинами Мак-Каллоха. Недели две спустя Мак-Каллох получил от Крейга письмо следующего содержания:

Мой дорогой Мак-Каллох!

Я и мой друг Малькольм Фергюссон крайне заинтересовались твоими цифровыми машинами. Кстати, ты случайно не знаком с Фергюссоном? Последнее время он ведет активные исследования в области чистой логики и даже собственноручно построил несколько логических машин. Однако его интересы не ограничиваются этим; так, он весьма интересуется шахматными задачами, относящимися к области так называемого ретроградного анализа. Кроме того, он занимается и чисто комбинаторными задачами, с которыми так успешно справляются твои машины. На прошлой неделе я заглянул к нему в гости и показал все твои задачи — они его очень заинтересовали. Когда через три дня я вновь встретил Фергюссона, он невзначай заметил в разговоре что, по его мнению, обе твои машины обладают некоторыми новыми любопытными свойствами, о которых ты сам как изобретатель, по-видимому, даже не подозреваешь. Выражался он несколько туманно и сказал, что хочет еще поразмыслить обо всем этом.

В следующую пятницу я пригласил Фергюссона пообедать со мной. Не хочешь ли присоединиться к нам? Уверен, что у вас обоих найдется много общих тем для разговора; быть может, мы узнаем, что у него на уме.

В надежде на скорую встречу искренне твой

Л. Крей

Ответ Мак-Каллоха не заставил себя долго ждать:

Дорогой Крейг!

С Малькольмом Фергюссоном я не знаком, но многое слышал о нем от наших общих знакомых. Не учился ли он у известного логика Готлоба Фреге? Насколько мне известно, он занимается некоторыми проблемами, весьма важными для оснований математики, и, конечно, я с удовольствием воспользуюсь возможностью познакомиться с ним лично. Само собой разумеется, мне будет также крайне любопытно узнать его мнение по поводу построенных мною машин. Весьма благодарен тебе за приглашение и с радостью его принимаю.

С глубоким уважением

Н. Мак-Каллох

Гости съехались. После превосходного обеда (его приготовила квартирная хозяйка Крейга миссис Хоффман) разговор зашел о математике.

— Я слышал, вы построили несколько логических машин, — сказал Мак-Каллох. — Интересно было узнать о них поподробнее. Может быть, вы расскажете, как они работают?

— О, это долгий разговор, — отвечал Фергюссон. — К тому же я до сих пор не нашел ответа на один очень важный вопрос, связанный с их работой. Может, вы с Крейгом зайдете как-нибудь ко мне в лабораторию? Тогда я вам обо всем и расскажу. А сегодня я предпочел бы поговорить о ваших машинах. Несколько дней назад я рассказывал Крейгу, что у них обнаружились некоторые свойства, о которых, мне кажется, вы и не подозреваете.