Саймон Сингх - Великая Теорема Ферма

не допускает решения в целых числах.

Это уравнение в действительности представляет собой бесконечную систему уравнений

x 3+ y 3= z 3,

x 4+ y 4= z 4,

x 5+ y 5= z 5,

x6 + y 6= z 6,

x 7+ y 7= z 7,

. . . . . .

Эйлер попытался выяснить, нельзя ли доказать, что одно из уравнений не допускает решений в целых числах, а затем экстраполировать полученный результат на все остальные уравнения (точно так же, как он доказал свою формулу для всех графов).

Первый шаг к осуществлению задуманного Эйлер совершил, когда обнаружил ключ к доказательству в кратких записях на полях «Арифметики» Диофанта. Хотя Ферма не оставил развернутого доказательства Великой теоремы, он в другом месте того же экземпляра «Арифметики» написал в зашифрованном виде доказательство для случая n =4, включив его в решение совершенно другой задачи. Это были самые подробные вычисления, которые Ферма когда-либо доверил бумаге, но всё же детали всё ещё были обрывочны и расплывчаты, а в заключение доказательства Ферма ссылается на то, что недостаток времени и места не позволяют ему дать более полное объяснение. Несмотря на отсутствие многих важных деталей в беглых заметках Ферма, в них отчетливо просматривался один из способов доказательства от противного, известный под названием метода бесконечного спуска.

Чтобы доказать, что уравнение x 4+ y 4= z 4не допускает решения в целых числах, Ферма начал с предположения о существовании гипотетического решения в целых числах

x = X 1, y = Y 1, z = Z 1.

При изучении свойств чисел ( X 1, Y 1, Z 1) Ферма показал, что если бы такое гипотетическое решение действительно существовало, то существовало бы меньшее решение ( X 2, Y 2, Z 2). Рассматривая это новое решение, Ферма смог показать, что если бы оно существовало, то существовало бы еще меньшее решение ( X 3, Y 3, Z 3) и т. д.

Ферма обнаружил нисходящую лестницу решений, которая теоретически могла бы продолжаться неограниченно, порождая все меньшие и меньшие решения. Но x, y и z должны быть целыми положительными (так называемыми натуральными) числами, поэтому нескончаемая нисходящая лестница невозможна, потому что должно быть наименьшее целочисленное решение. Полученное противоречие доказывает, что начальное предположение о существовании решения ( X 1, Y 1, Z 1) было ложным. Итак, используя метод бесконечного спуска, Ферма доказал, что при n =4 уравнение x n + y n = z n не может иметь целочисленных решений.

Эйлер попытался воспользоваться методом бесконечного спуска в качестве исходного пункта при построении общего доказательства для всех других степеней в уравнении Ферма. Он хотел получить доказательство для всех n вплоть до бесконечности, но прежде всего он хотел «опуститься на одну ступень» и получить доказательство при n =3. В письме к прусскому математику Христиану Гольдбаху в августе 1753 года Эйлер сообщил, что ему удалось приспособить метод бесконечного спуска и успешно доказать Великую теорему Ферма для случая n =3. Так через сто лет после смерти Ферма впервые удалось сделать первый шаг на пути к решению его проблемы.

Чтобы распространить предложенное Ферма доказательство со случая n =4 на случай n =3, Эйлеру пришлось ввести в игру довольно причудливое понятие так называемого мнимого числа — величины, открытой европейскими математиками в XVI веке. Говорить о новых числах, что они были «открыты» довольно странно, но ощущение необычности возникает главным образом потому, что мы настолько привыкаем к постоянно и широко используемым числам, что забываем о временах, когда некоторые из этих чисел не были известны. И отрицательные, и иррациональные — все эти числа в свое время приходилось открывать, и мотивация в каждом случае сводилась к необходимости решить задачу, неразрешимую в уже известных числах.

История теории чисел начинается с обыкновенных чисел, используемых для счета — 1,2,3…, — известных под названием натуральных чисел. Эти числа идеально подходят для сложения простых целых величин, таких, как овцы или золотые монеты, чтобы узнать, сколько всего таких величин — их общее количество также есть целое число. Наряду со сложением еще одна простая операция, умножение, производимая над целыми числами, также порождает другие целые числа. Но операция деления приводит к довольно неприятной проблеме. При делении числа 8 на 2 мы получаем 4, но при делении числа 2 на 8 ответ получается равным 1/4. Результатом деления в последнем случае является не целое число, а дробь.