Саймон Сингх - Великая Теорема Ферма

Доказательство представляло собой гигантскую цепочку рассуждений, весьма хитроумно выстроенных из сотен математических вычислений, склеенных воедино логическими связями. Если всего лишь одно вычисление оказалось бы ошибочным, или одно звено разорвалось, то все доказательство могло бы обесцениться. Уайлс, вернувшийся в Принстон, с беспокойством ждал, когда рецензенты завершат свою работу. «Мне не хотелось праздновать победу до тех пор, пока проверка не будет закончена. Я занимался, в основном, ответами на вопросы, которые получал по электронной почте от рецензентов. У меня была уверенность, что ни один из этих вопросов не доставит мне особых хлопот». Прежде чем предоставить доказательство референтам, Уайлс проверил и перепроверил его сам, и поэтому был уверен, что те вряд ли сумеют обнаружить в его рукописи что-нибудь, кроме математического эквивалента грамматических ошибок или опечаток — тривиальных ошибок, которые он сможет легко исправить.

«Вопросы возникали вплоть до августа, — вспоминает Катц, — пока я не наткнулся на нечто, показавшееся еще одной небольшой проблемой. Где-то около 23 августа я отправил Эндрю запрос по электронной почте. Проблема оказалась несколько более сложной, поэтому ответ Эндрю прислал по факсу. Меня этот ответ не удовлетворил, поэтому я еще раз направил Эндрю запрос по электронной почте и получил еще один ответ по факсу, который меня также не удовлетворил».

Уайлс поначалу предполагал, что очередная ошибка столь же несерьезна, как и предыдущие, но настойчивость Катца вынудила отнестись к ней серьезнее: «Я не мог немедленно ответить на заданный мне вопрос, который выглядел вполне невинно. Мне казалось, что вопрос того же порядка, что и другие, но где-то в сентябре я начал понимать, что речь шла не о какой-то незначительной трудности, а о фундаментальном пробеле. Это была ошибка в решающей части рассуждения, связанного с использованием метода Колывагина-Флаха, но настолько тонкая, что я заметил ее только после того, как мне ее указали. Описать, в чем суть ошибки в простых терминах невозможно: для этого она слишком абстрактна. Даже для того, чтобы объяснить ее математику, от последнего потребовалась бы готовность затратить два-три месяца для тщательного изучения рукописи с доказательством».

По существу, проблема сводилась к тому, что метод Колывагина-Флаха мог не сработать так, как было необходимо Уайлсу. Предполагалось, что доказательство, полученное для первых элементов E -рядов эллиптических кривых, и M -рядов модулярных форм, допускает обобщение на все элементы E - и M -рядов, что и позволяло применять принцип математической индукции. Первоначально метод Колывагина-Флаха был применим только при определенных ограничительных условиях, но Уайлс полагал, что ему удалось усилить метод настолько, что тот удовлетворял всем необходимым требованиям. По словам Катца, в действительности это было не так, и последствия были драматическими и опустошительными. Обнаруженная ошибка не обязательно означала, что доказательство Уайлса нельзя спасти, но одно было несомненно: Уайлсу было необходимо восполнить существенный пробел в доказательстве. Абсолютизм математики требовал, чтобы Уайлс дал не оставляющее ни малейших сомнений доказательство того, что предложенный им метод применим к каждому элементу любого E -ряда и любого M -ряда.

Когда Катц осознал всю важность обнаруженной им ошибки, он стал размышлять о том, почему ошибка была пропущена им весной, когда Уайлс читал ему лекции с единственной целью — выявить возможные ошибки. «Я полагаю, ответ заключается в следующем. Когда вы слушаете чью-нибудь лекцию, перед вами возникает довольно трудный выбор: понять все до мельчайших деталей или предоставить лектору излагать материал так, как было им задумано. Если вы станете перебивать лектора на каждом слове (я не понял это, не понял то), то ему никогда не удастся объяснить все, что он хотел, и вы ничего не достигнете. С другой стороны, если вы не будете прерывать лектора, то вы скоро не сможете следить за ходом рассуждений и будете лишь кивать головой из вежливости, но совершенно утратите понимание деталей. Каждый, кто слушает лекцию, стоит перед выбором — задавать ли слишком много вопросов или слишком мало вопросов. По-видимому, к концу лекций, в том месте, где проскользнула обнаруженная впоследствии ошибка, я предпочел задавать слишком мало вопросов».