Яков Перельман - Для юных математиков. Веселые задачи

Этот курьезный фокус, в сущности, прост до смешного. Его разгадка ясна хотя бы, например, уже из того, что если бы на последний вопрос вам ответили не «туз», а прямо «валет» – успех отгадывания был бы не менее блестящий. Вообще, весь секрет фокуса вот в чем: сообразно с тем, что вам нужно, вы сосредоточиваете внимание собеседника либо на тех картах, которые им названы, либо же на тех, которые не названы. А так как задуманная карта непременно должна оказаться либо среди названных, либо среди не названных, то нисколько не удивительно, что собеседник ваш всегда «отгадывает» безошибочно.

Разумеется, когда вы проделаете этот фокус подряд несколько раз, уловка будет раскрыта. Но если не злоупотреблять недогадливостью слушателя, то можно поставить в тупик самого находчивого человека.

Получаются два кольца, но продетые одно в другое, как звенья цепи (рис. 76).

Если каждое из этих колец вы снова разрежете вдоль, вы опять получите по два кольца, продетые одно в другое. Решение задачи № 85

При разрезывании этого кольца вдоль получится, вопреки всем ожиданиям, не два кольца, а… одно, вдвое большее (рис. 77)!

Наша изогнутая лента, обладающая столь удивительным свойством не разъединяться при разрезывании, называется в геометрии «поверхностью Мебиуса», по имени знаменитого математика прошлого века. Другая замечательная особенность нашего кольца состоит в том, что у него нет «лицевой стороны» и «изнанки»; «лицо» ленты постепенно переходит в «изнанку», так что невозможно указать, где кончается одна сторона и начинается другая. Если бы вы пожелали, например, покрасить одну сторону нашей бумажной ленты, скажем, в красный цвет, а другую оставить некрашеной, то не могли бы выполнить этого: у нашей ленты нет двух сторон, она односторонняя [7] .

Но вернемся к разрезыванию нашей ленты. Если, разрезав ее вдоль и получив одно кольцо, вы разрежете новое кольцо, у вас получится на этот раз два кольца (рис. 78).

Однако разнять их вы не сможете: они запутаны одно в другом сложным гордиевым узлом, который можно рассечь только ножницами. Решение задачи № 86

Нехитрый секрет беспроигрышной игры найти довольно легко, если попробовать сыграть партию с конца. Нетрудно видеть, что если предпоследним нашим ходом вы оставите партнеру на столе 5 спичек, – то выигрыш для вас обеспечен: партнер не может взять больше 4-х спичек, и, следовательно, вы можете взять после него все остальное. Но как устроить, чтобы вы наверняка могли предпоследним ходом оставить на столе 5 спичек? Для этого необходимо предшествующим ходом оставить противнику ровно 10 спичек: тогда, сколько бы он ни взял, он не оставит вам меньше 6, – и вы всегда сможете оставить ему 5. Далее: как достичь того, чтобы партнеру пришлось брать из 10 спичек? Для этого надо в предыдущий ход оставить на столе 15 спичек.

Так, последовательно вычитая по 5, мы узнаем, что на столе надо оставить 20 спичек, а еще ранее – 25 спичек, и наконец в первый раз – 30 спичек, – т. е., начиная игру, взять 2 спички.

Итак, вот секрет беспроигрышной игры: сначала берите 2 спички; затем – после того, как партнер взял несколько спичек, – берите столько, чтобы на столе осталось 25; в следующий раз оставьте на столе 20, потом 15, потом 10 и, наконец, 5. Последняя спичка всегда останется за вами.

Если условие игры обратное – т. е. взявший последнюю спичку считается проигравшим, – то вам надо в предпоследний ваш ход оставить на столе 6 спичек; тогда, сколько бы ни взял ваш партнер, он не может оставить вам меньше 2 и больше 5, т. е. вы во всяком случае сможете следующим ходом последнюю спичку оставить ему. Но как привести к тому, чтобы оставить на столе 6 спичек? Для этого надо предшествующим ходом оставить на столе 11 спичек, а еще более ранними ходами – 16, 21, 26 и 31 спичку.

Итак, вы начинаете с того, что берете всего 1 спичку, а дальнейшими ходами оставляете нашему партнеру 26, 21, 16, 11 и 6 спичек; последняя спичка неизбежно достается противнику.

Здесь разыскать способ беспроигрышной игры несколько труднее, чем при игре в 32.

Надо исходить из следующих двух соображений:

1) Если у вас перед концом партии нечетное число спичек, вы должны оставить противнику 5 спичек, – и ваш выигрыш обеспечен. В самом деле: следующим ходом противник оставит нам 4, 3, 2 или 1 спичку; если 4 – вы берете 3 и выигрываете; если 3 – выберете их, и выигрываете; если 2 – вы берете 1 и выигрываете.