Яков Перельман - Живая математика. Математические рассказы и головоломки

Мы желаем узнать, сколькими способами возможно переставлять их один на место другого. Рассуждаем так. Если отложить пока в сторону вещь В, то остальные две можно разместить только двумя способами (рис. 83).

Теперь будем присоединять вещь В к каждой из этих пар. Мы можем сделать это трояко: можем

1) поместить В позади пары,

2)» В впереди пары,

3)» В между вещами пары.

Других положений для вещи В, кроме этих трех, очевидно, быть не может. А так как у нас две пары - АБ и БА, то всех способов разместить вещи наберется

2x3 = 6.

Рис. 83. Две вещи можно разместить только двумя способами

Рис. 84. Три вещи можно разместить шестью способами

Способы эти показаны на рис. 84.

Пойдем дальше - сделаем расчет для 4 вещей. Пусть у нас 4 вещи: А, Б, В, и Г. Опять отложим пока в сторону одну вещь, например Г; ас остальными тремя сделаем все возможные перестановки.

Мы знаем уже, что число этих перестановок - 6. Сколькими же способами можно присоединить четвертую вещь Г к каждой из 6 троек? Очевидно, четырьмя: можно

1) поместить Г позади тройки;

2)» Г впереди тройки;

3)» Г между 1-й и 2-й вещью;

4)» Г между 2-й и 3-й вещью.

Всего получим, следовательно,

6 х 4 = 24 перестановки;

а так как 6 = 2 х 3 и 2 = 1 х 2, то число всех перестановок можно представить в виде произведения:

1 x 2 x 3 x 4 = 24.

Рассуждая таким же образом в случае 5 предметов, узнаем, что для них число перестановок равно

1 х 2 х З х 4 х 5 = 120.

Для 6 предметов:

1 х 2 х З х 4 х 5 х 6 = 720 и т. д.

Обратимся теперь к случаю с 10 обедающими. Число возможных здесь перестановок определится, если дать себе труд вычислить произведение

1 х 2 х 3 х 4 х 5 х 6 х 7 х 8 х 9 х 10.

Тогда и получится указанное выше число 3 628 800.

Расчет был бы сложнее, если бы среди 10 обедающих было 5 девушек и они желали бы сидеть за столом непременно так, чтобы чередоваться с юношами. Хотя число возможных перемещений здесь гораздо меньше, вычислить его несколько труднее.

Пусть сядет за стол - безразлично как - один из юношей. Остальные четверо могут разместиться, оставляя между собою пустые стулья для девушек, 1 х 2 х З х 4 = = 24 различными способами. Так как всех стульев 10, то первый юноша может сесть 10 способами; значит, число всех возможных размещений для молодых людей 10 х 24 = 240.

Сколькими же способами могут сесть на пустые стулья между юношами 5 девушек? Очевидно, 1 х 2 х 3 х 4 х 5 = 120 способами. Сочетая каждое из 240 положений юношей с каждым из 120 положений девушек, получаем число всех возможных размещений:

240 х 120 = 28 800.

Число это во много раз меньше предыдущего и потребовало бы всего 79 лет (без малого). Доживи молодые посетители ресторана до столетнего возраста, они могли бы дождаться бесплатного обеда если не от самого официанта, то от его наследников.

Умея подсчитывать перестановки, мы можем определить теперь, сколько различных расположений шашек [16] При этом свободная клетка должна всегда оставаться в правом нижнем углу. возможно в коробке игры в «15». Другими словами, можем подсчитать число всех задач, какие способна предложить нам эта игра. Легко понять, что подсчет сводится к определению числа перестановок из 15 предметов. Мы знаем уже, что для этого нужно перемножить

1 х 2 х 3 х 4 х… и т. д… х 14 х 15.

Вычисление дает итог:

1 307 674 365 000,

т. е. больше триллиона.

Из этого огромного числа задач половина неразрешима. Существует, значит, свыше 600 миллиардов неразрешимых положений в этой игре. Отсюда понятна отчасти та эпидемия увлечения игрой в «15», которая охватила людей, не подозревавших о существовании такого огромного числа неразрешимых случаев.

Заканчивая нашу беседу о числе перестановок, решим такую задачу из школьной жизни.

В классе 25 учеников. Сколькими способами можно рассадить их по партам?

Путь решения этой задачи - для тех, кто усвоил себе все сказанное раньше - весьма несложен: нужно перемножить 25 таких чисел:

1 х 2 х З х 4 х 5 х 6… х 23 х 24 х 25.

Результат получается огромный, из 26 цифр - число, величину которого наше воображение не в силах себе представить. Вот оно: [17] Как прочесть это число? Оно произносится так: 15 511 секстиллионов 210 квинтиллионов 43 квадриллиона 330 триллионов 985 миллиардов 984 миллиона. – Прим. ред.