Яков Перельман - Математика для любознательных

Вы всматриваетесь в эту фигуру и безошибочно называете задуманное число: 137. Как вы узнаете его?

Способ станет ясен сам собою, если в выбранном примере (137) мы последовательно обозначим возле каждой спички то число, при делении которого она была положена:

Теперь понятно, что так как последняя спичка во всех случаях обозначает число 1, то не составляет труда, восходя от нее к предшествующим делениям, добраться до первоначально задуманного числа. Например, по фигуре вы можете вычислить, что задумано было число 664. В самом деле, выполняя последовательно удвоения (начиная с конца) и не забывая прибавлять, где надо, единицу, получаем (см. рис.):

Таким образом, пользуясь спичками, вы прослеживаете ход чужих мыслей, восстановляя всю цепь умозаключений.

Тот же результат мы можем получить иначе, сообразив, что лежащая спичка должна соответствовать в двоичной системе нулю (деление на 2без остатка), а стоящая - единице. Таким образом, в первом примере мы имеем (читая справа налево) число

или в десятичной системе:

128 + 8 + 1 = 137.

А во втором примере задуманное число изображается по двоичной системе:

или по десятичной системе:

512 + 128 + 16 + 8 = 664.

Какое число задумано, если получилась такая фигура (см. прилож. рис).

Число «10010101» в двоичной системе соответствует в десятичной:

128 + 16 + 4 + 1 = 149.

(Необходимо заметить, что получаемая при последнем делении 1-ца также должна быть отмечаема стоящей спичкой.)

У некоторых читателей, вероятно, возник уже вопрос, почему для выполнения описанных раньше опытов мы пользуемся именно двоичной системой? Ведь всякое число можно изобразить в любой системе, между прочим и в десятичной. Чем же объясняется предпочтение здесь двоичной?

Объясняется оно тем, что в этой системе, кроме нуля, употребляется всего одна цифра - единица, а следовательно, число составляется из различных степеней 2-х, взятых только по одному разу. Если бы в фокусе с конвертами мы распределили деньги, например, по 5-ричной системе, то могли бы составить, не вскрывая конвертов, любую сумму лишь в том случае, когда каждый пакет повторяется у нас не менее 4-х раз (в 5-ричной системе употребляются ведь кроме нуля 4 цифры).

Впрочем, бывают случаи, когда для подобных надобностей удобнее пользоваться не двоичной, а троичной системой, несколько видоизмененной. Сюда относится знаменитая старинная «задача о наборе гирь», которая может послужить сюжетом и для арифметического фокуса.

Представьте, что вам предложили придумать набор из 4 гирь, с помощью которых возможно было бы отвесить любое целое число килограммов, от 1 до 40. Двоичная система подсказывает вам набор:

1 кг, 2 кг, 4 кг, 8 кг, 16 кг,

которым можно отвешивать все грузы от 1 до 31 кг. Но это, очевидно, не удовлетворяет требуемым условиям ни по числу гирь, ни по предельному грузу (31 кг вместо 40). С другой стороны, вы не использовали здесь возможности класть гири не только на одну чашку весов, но и на две, т. е. обходиться не только суммою гирь, но и их разностью. Это дает так много разнообразных комбинаций, что вы совершенно теряетесь в поисках, не умея уложить их в какую-либо систему. Если вам не посчастливится напасть на правильный путь, вы готовы будете даже сомневаться вообще в разрешимости подобной задачи столь малым числом гирь, как четыре.

Посвященный выходит из этого затруднения с волшебной простотой, намечая следующие 4 гири:

1 кг, 3 кг, 9 кг, 27 кг.