Яков Перельман - Математика для любознательных

2x3x4x5x6x7x8x9x10x11x12x13x14x15

перестановок. Вычислив это произведение, мы найдем для числа задач игры внушительное число:

1 биллион 307674 миллиона 368000».

Из этого огромного числа задач ровно половина принадлежит к разрешимым и столько же - к неразрешимым. Заметим еще, что если бы возможно было ежесекундно давать шашкам новое положение, то чтобы перепробовать всевозможные расположения, потребовалось бы, при непрерывной работе круглые сутки, - свыше 40.000 лет.

Ряд лет тому назад в Берлине подвизался искусный счетчик, предлагавший публике такую задачу (переделываем ее на русский лад):

«Кто сможет уплатить 5 рублей, 3 рубля или 2 рубля полтинниками, двугривенными и пятаками, всего 20-ю монетами, - тому будет выдано наличными деньгами сто рублей».

Посетителям вручались необходимые монеты, - конечно, заимообразно. Но обещанная сотня рублей должна была остаться навсегда в руках счастливца, которому удалось бы решить задачу.

Разумеется, пол-Берлина потело над разрешением этой задачи (стояли как раз жаркие июльские дни), казавшейся не особенно трудной. Сто рублей хорошо пригодились бы всем, значит - стоит потрудиться. По мере того, как выяснялась бесполезность попыток, физиономии решавших вытягивались и розовые мечты о заманчивой награде испарялись. Надежды оказывались обманчивыми. Ловкий счетчик мог безбоязненно обещать в десять раз большую награду. Никто не в праве был бы на нее притязать, ибо задача требует невозможного.

Как в этом убедиться?

Нам не понадобится глубоко забираться в дебри алгебры, но все же не будем бояться х, у и z.

Рассмотрим сначала, можно ли уплатить требуемым образом пять рублей. Пусть для этого нужно х полтинников, у - двугривенных и z - пятаков. Сумма их должна составить 500 копеек, т. е.

50x + 20y + 5z = 500,

или, разделив на 5,

10x + 4y + z = 100.

Это легко осуществить на разные лады. Если, например, взять х = 8, то будем иметь

80 + 4y + z = 100,

или

4y + z = 20;

последнему уравнению можно удовлетворить, если принять z = 4, или 8, или 12, или 16 и, следовательно (при z = 4), 4у = 16, у = 4. Действительно, 8 полтинников, 4 двугривенных и 4 пятака составляют 500. Однако при этом не выполнено условие употребить в общей сложности 20 монет: мы употребили 8 + 4 + 4 = 16 монет. К нашему первому уравнению

10x + 4y + z = 100

необходимо, следовательно, присоединить второе

x + y + z = 20.

Соединяя их в одно, посредством вычитания второго из первого, мы освобождаемся от z и получаем

9х + 3у = 80;

теперь сразу становится очевидным, что не может быть таких целых чисел, которые удовлетворили бы этому уравнению. Потому что 9 раз х, каково бы ни было х, есть непременно число кратное 3; то же верно для числа 3у; следовательно, сумма 9х + 3у должна делиться без остатка на 3, то есть никак не может равняться 80.

Задача приводит к противоречивому требованию, и значит - ее решение невозможно.

Совершенно так же невозможно и составление требуемым образом сумм в 3 рубля и в 2 рубля. В первом случае, как каждый легко может убедиться, получается уравнение:

9х + 3у = 40;

во втором:

9x + 3y = 20.

Оба равенства невозможны, так как ни 40, ни 20 не делятся без остатка на 3.

Сказанным задача собственно исчерпывается. Но поучительно присоединить к ней рассмотрение вопроса, какие же суммы можно этими 20-ю монетами в самом деле уплатить, - разумеется так, чтобы получилось целое число рублей.

Если обозначим это число рублей через т, то у нас будет уравнение

50x + 20y + 5z = 100m,

или

10x + 4y + z = 20m,

при условии, что

x + y + z = 20,

откуда путем вычитания имеем:

9x + 3y = 20m-20 = 20 (m-1).

Так как 9х + 3у кратно 3, то и 20 (m-1) должно быть кратно 3.

Но 20 не делится на 3, так что кратным 3 должно быть только m-1.

Если m-1 равно 0, 3, 6, 9, 12 и т. д., то т должно быть на 1-цу больше, т. е. одно из чисел: 1, 4, 7, 10, 13 и т. д. Только такие суммы рублей могут быть уплачены нашими 20-ю монетами. Но очевидно, что 10 рублей - наибольшая сумма, так как 20 полтинников составляют уже 10 рублей. Принимая поэтому только четыре возможных суммы - в 1 р., в 4 р., в 7 р. и в 10 р., имеем четыре случая:

9х + 3у-20(m-1) = 0, или 60, или 120, или 180,

другими словами

3х + у = 0, или 20, или 40, или 60.

Только эти случаи и надо рассмотреть.