Довид Ласерна - На волне Вселенной. Шрёдингер. Квантовые парадоксы

Когда функция У исчезает, электрон становится свободным, и уравнение Шрёдингера сокращается до своей самой простой формы:

Это очень похоже на уже рассмотренное первое дифференциальное уравнение:

Из этого мы делаем вывод, что касательная у пропорциональна значению функции в каждой точке. Именно сейчас проявляется динамика изменения касательной функции ψ. Отметим, что при повышенном значении для Е (электрон с высокой энергией) вторая производная будет больше постоянной ψ. Мы окажемся в ситуации сжатой волны с малой длиной (см. рисунок 11, стр. 80). Если мы возьмем выражение де Бройля λ = h/p, то малая λ соответствует большой р (то есть повышенной скорости р = mv). И наоборот, малая Е приводит нас к случаю вытянутой волны, с большой длиной и, таким образом, низкой скоростью: электрон с низкой энергией. В уравнении (1) электрон, не испытывая никакого влияния окружающей среды, находится в состоянии, похожем на состояние свободной струны, и его частота постоянна. К тому же форма ψ очень похожа на волну, распространяющуюся в свободном пространстве. Энергия частицы также не является квантованной и предполагает бесконечный спектр значений.

График кривой показывает, что V оказывается принципиальным в уравнении, когда значение х мало (когда электрон блуждает около ядра). Если мы разделим число на другое, намного меньшее, чем единица, то получим в качестве результата большое число. Чем сильнее уменьшается знаменатель, тем больше становится коэффициент. Например:

И наоборот, если х увеличивается, коэффициент

уменьшается, пока не станет незначительным. Эти две тенденции показывают, что электрон подвержен воздействию притяжения, когда он находится поблизости от ядра (где V сильно увеличивается). И его присутствие едва заметно, когда он очень далеко (V уменьшается, пока не исчезнет). В последнем случае, когда V стремится к нулю, уравнение сокращается до того вида, который соответствует свободному электрону (рисунок 15).

Мы предполагаем, что в любой момент ядро находится в состоянии покоя (или что можно не обращать внимания на его скорость, как и на скорость электронов).

РИС. 14

РИС. 15

Действие V, связывающее электроны с ядром, равносильно тому, чтобы зафиксировать струну на подставке скрипки.

Так как функция а(х,t) должна быть равна нулю на концах или соответствовать форме струны до касания, существуют дополнительные условия к ψ. Она должна быть постоянной и ее значение должно стремиться к нулю при нахождении далеко от ядра. Настоящее значение этих условий будет раскрыто в следующей главе. В тот момент, когда условия будут выполнены, энергия системы будет квантована согласно формуле Бора. Функции решения ψ ведут себя так же, как стоячие волны, создавая в атоме стабильную ситуацию.

Главная загадка уравнения Шрёдингера (которая будет решена в следующей главе) — какая физическая величина представляет знаменитую функцию ψ? Этот вопрос вызвал бурные споры с того самого момента, когда он был поставлен.

Чтобы описать реальный атом водорода, необходимо ввести три координаты:

В трех измерениях анализ уравнения усложняется. Очевидно, чтобы визуализировать решения, необходимы четыре оси: одна — для ψ и три другие — для х, у и z. И если мы введем время t, то нам понадобится пятая ось. Но несмотря на эти сложности, можно сделать несколько замечаний относительно вида искомого решения. Например, проясняя (1), мы замечаем, что сумма динамики изменения касательных ψ