Александр Филиппов: Многоликий солитон

Хотя основные уравнения, описывающие движения жидкости, в 30-е годы ХIХ в. были уже получены, математическая теория волн на воде только начала создаваться. Простейшая теория волн на поверхности воды была дана Ньютоном в его «Математических началах натуральной философии», впервые изданных в 1687 г. Сто лет спустя знаменитый французский математик Жозеф Луи Лагранж (1736—1813) назвал этот труд «величайшим произведением человеческого ума». К сожалению, эта теория была основана на неправильном допущении, что частицы воды в волне просто колеблются вверх вниз. Несмотря на то, что Ньютон не дал правильного описания волн на воде, он верно поставил задачу, и его простая модель вызвала к жизни другие исследования. Впервые правильный подход к поверхностным волнам был найден Лагранжем. Он понял, как можно построить теорию волн на воде в двух простых случаях — для волн с малой амплитудой («мелкие волны») и для волн в сосудах, глубина которых мала по сравнению с длиной волны («мелкая вода»). Лагранж не занимался детальной разработкой теории волн, так как его увлекали другие, более общие математические проблемы.

Вскоре было найдено точное и удивительно простое решение уравнений, описывающих волны на воде. Это первое, и одно из немногих точных, решение уравнений гидромеханики получил в 1802 г. чешский ученый, профессор математики в Праге Франтишек Йозеф Герстнер (1756—1832)*).

*) Иногда Ф. Й. Герстнера путают с его сыном, Ф. А. Герстнером, несколько лет жившим в России. Под его руководством в 18З6—18З7 гг. была построена первая в России железная дорога (из Петербурга в Царское Село).

В волне Герстнера (рис. 1.1), которая может образоваться только на «глубокой воде», когда длина волны много меньше глубины сосуда, частицы жидкости движутся по окружностям.

Волна Герстнера — первая изученная волна несинусоидальной формы. Из того, что частицы жидкости движутся по окружностям, можно заключить, что поверхность воды имеет форму циклоиды (от греч. «киклос» — круг и «эйдос» — форма), т. е. кривой, которую описывает какая-нибудь точка колеса, катящегося по ровной дороге. Иногда эту кривую называют трохоидой (от греч. «трохос» — колесо), а волны Герстнера трохоидальными *). Только для очень мелких волн, когда высота волн становится много меньше их длины, циклоида становится похожей на синусоиду, и волна Герстнера превращается в синусоидальную. Хотя при этом частицы воды и мало отклоняются от своих положений равновесия, движутся они все равно по окружностям, а не качаются вверх-вниз, как полагал Ньютон. Надо заметить, что Ньютон ясно сознавал ошибочность такого допущения, но счел возможным воспользоваться им для грубой приближенной оценки скорости распространения волны: «Все происходит таким образом при предположении, что частицы воды поднимаются и опускаются по отвесным прямым линиям, но их движение вверх и вниз на самом деле происходит не по прямой, а вернее по кругу, поэтому я утверждаю, что время дается этим положениям лишь приближенно». Здесь «время» — период колебаний Т в каждой точке; скорость волны υ = λ/Т , где λ — длина волны. Ньютон показал, что скорость волны на воде пропорциональна . В дальнейшем мы увидим, что это правильный результат, и найдем коэффициент пропорциональности, который был известен Ньютону лишь приближенно.

*) Мы будем называть циклоидами кривые, описываемые точками, лежащими на ободе колеса, а трохоидами кривые, описываемые точками между ободом и осью.

Открытие Герстнера не прошло незамеченным. Надо сказать, что он сам продолжал интересоваться волнами и свою теорию применял для практических расчетов плотин и дамб. Вскоре было положено начало и лабораторному исследованию волн на воде. Это сделали молодые братья Веберы.

Старший брат Эрнст Вебер (1795—1878) сделал впоследствии важные открытия в анатомии и физиологии, в особенности в физиологии нервной системы. Вильгельм Вебер (1804—1891) стал знаменитым физиком и многолетним сотрудником «контроля математиков» К. Гaуссa в исследованиях по физике. По предложению и при содействии Гаусса он основал в Геттингенском университете первую в мире физическую, лабораторию (1831 г.). Более всего известны его работы по электричеству и магнетизму, а также электромагнитная теория Вебера, которая была позднее вытеснена теорией Максвелла. Он одним из первых (1846 г.) ввел представление об отдельных частичках электрического вещества «электрических массах» и предложил первую модель атома, в которой атом уподоблялся планетарной модели Солнечной системы. Вебер также разработал основанную на идее Фарадея теорию элементарных магнитиков в веществе и изобрел несколько физических приборов, которые для своего времени были весьма совершенными.