Виктор Комаров - Тайны пространства и времени

Бесконечность – один из тех математических образов, который трудно себе представить не только неспециалистам, но и ученым. Один известный математик, преподававший геометрию на физическом факультете Московского университета, доверительно признавался студентам, что когда он пытается представить себе бесконечность, то чувствует, как начинает мутиться рассудок.

Тем не менее и математикам, и физикам, и астрофизикам в своих исследованиях приходится иметь дело с бесконечностями, с бесконечно большими величинами и оперировать ими. Причем бесконечности, оказывается, бывают разными, и их даже можно сравнивать между собой.

Самая простая, самая «элементарная» бесконечность и в то же время самая «маленькая» – это бесконечность чисел натурального ряда. Ее можно получить, прибавляя раз за разом к единице одну единицу за другой.

Поскольку подобная операция ничем не ограничена и ее можно повторять сколь угодно долго, то в результате мы и получим бесконечное множество целых чисел – «счетное» множество, как его называют математики. Эта удобная во многих отношениях бесконечность играет роль своеобразной «мерной линейки», некоего эталона для измерения других бесконечностей. Для этого их элементы необходимо попытаться просто пронумеровать. И посмотреть, что из этого получится…

Просто? А почему бы и нет? Считать-то от одного и так далее мы ведь умеем. Но тут нас подстерегает совершенно непредвиденная неожиданность. Одна из тех, с которыми мы встречаемся чуть ли не на каждом шагу, когда имеем дело с бесконечностями. Например, «приложим» к бесконечному множеству всех четных чисел наш эталон. Двойку – самое малое четное число, пронумеруем единицей, четверку – двойкой, шестерку – тройкой, и так далее, и так далее… И с удивлением обнаружим, что номеров не только вполне хватает для обозначения всех четных чисел – этого-то нужно было ожидать, – но остаются и свободные номера.

Выходит, что обе бесконечности – счетная и бесконечность всех четных чисел – одинаковы? Как же так? Ведь из каждых двух следующих друг за другом чисел натурального ряда четным является только одно. Значит, таких чисел должно быть вдвое меньше, чем всех целых! Иными словами, множество всех четных чисел составляет лишь часть множества всех целых. А соответствующие им бесконечности – одинаковы, имеют, как говорят математики, одинаковую мощность.

Но ведь так не бывает, не может быть! Множество любых предметов не может быть равно своей собственной части! Да, действительно, не может, пока мы имеем дело с конечными образованиями. Но у бесконечностей свои законы – причудливые, разумеется, с обыденной точки зрения, – но тем не менее вполне строгие. Между прочим, на то, что бесконечные множества могут быть равны собственным подмножествам, обратил внимание еще Галилей… К немалому своему удивлению!

Однако всякое открытие, как мы уже знаем, неизбежно влечет за собой новые вопросы. Не составляет исключения и то, о котором идет речь. Возникает, например, такой вопрос: существуют ли бесконечные множества более «мощные», чем счетное? Вот отрезок прямой линии. Сколько на нем помещается точек? Ясно, что их бесчисленное множество. Но сколько именно?

Прибегнем еще раз к помощи нашего эталона – счетного множества. И в конце концов обнаружим, что на этот раз чисел в натуральном ряду слишком мало для того, чтобы пронумеровать все точки выбранного нами отрезка. В математике на этот счет доказывается строгая теорема: сколько бы точек отрезка мы ни пронумеровали, всегда будут оставаться точки, для которых не хватит чисел натурального ряда. Таким образом, мы обнаружили бесконечность более высокого порядка, чем счетное множество – бесконечность, получившую название континуума. Но и континуум не предел. В принципе можно строить бесконечности сколь угодно высокого ранга.

Однако не будем углубляться дальше в необычный, хитроумный и парадоксальный мир математических бесконечностей. Главное – мы знаем: бесконечности бывают разные…

Вернемся к вопросу о геометрических свойствах Вселенной. Возможно, вы обратили внимание на то, что при обсуждении этой проблемы упоминается то возможная бесконечность мирового пространства, то его неограниченность. В «обычном» мире, для которого справедлива геометрия Евклида, та самая геометрия, которую мы изучаем в школе, эти понятия по сути дела равнозначны, обозначают одно и то же. Хотя некоторые различия все же есть. Строго говоря, бесконечность – это свойство количественное, «метрическое»: бесконечность длины, площади, объема. А неограниченность?..