Нил Тайсон - Большое космическое путешествие

Наблюдатель, находящийся в состоянии покоя относительно лаборатории, видит, что между прохождениями первого и второго гребней волны, испущенной частицей, проходит время Δ t 0= Δ t ´ = 1/ 0. (См. рис. 18.4, где интервал времени показан в виде вертикальной прерывистой линии.) В момент, когда частица испустит вправо следующий гребень волны, он отстанет от первого гребня на расстояние d = ( с – v )Δ t ´.Оно равно расстоянию, преодолеваемому лучом света за время Δ t ´ (то есть с Δ t ´) минус расстояние, пройденное частицей (равное v Δ t ´). Оба гребня летят вправо со скоростью света с (согласно второму постулату Эйнштейна); следовательно, они летят параллельно, и расстояние между ними остается постоянным d = ( с – v ) Δ t ´.Длина световой волны λ П, регистрируемая наблюдателем, сидящим на правой стене лаборатории, равна этому расстоянию между гребнями волны, то есть λ П= ( с – v ) Δ t ´.Пространственно-временная схема на рис. 18.4 иллюстрирует этот мысленный эксперимент. Расстояние λ Пмежду гребнями волны измеряется в некоторый момент лабораторного времени (по горизонтали на данной пространственно-временной схеме).

Следовательно, временной интервал между прибытием двух гребней волны к правой стене равен Δ t П= λ П/ c = ( с – v ) Δ t ´/ c , а наблюдаемая частота фотона, летящего вправо, составит ν П= 1/Δ t П= c /[( с – v ) Δ t ´] = ν 0 c /( с – v ). Теперь при v << c величина c /( с – v ) примерно равна 1 + ( v / c ), здесь в v / c остаются лишь члены первого порядка.(Например, если v / c = 0,00001, c /( с – v ) = 1/0,99999 = 1,00001 с высокой точностью – можете проверить на калькуляторе.) Следовательно, наблюдатель, сидящий у правой стены лаборатории, видит, что летящий к нему фотон врезается в стену, имея частоту ν П= ν0[1 + ( v / c )].Он наблюдает более высокую частоту, чем была у фотона в момент излучения, и эта частота больше исходной в [1 + ( v / c )] раз в силу доплеровского эффекта, где v – скорость частицы. Это стандартная формула доплеровского эффекта для света, смещенного в синюю часть спектра; этот свет попадает в правую стену лаборатории и был излучен частицей, которая на низкой скорости v летит к стене.

Попадая в правую стену, летевший вправо фотон сообщает ей направленный вправо импульс h ν П/ c = h ν 0[1 + ( v / c )]/ c .

Также частица излучает фотон, летящий влево. В итоге он врежется в левую стену. Наблюдатель, сидящий у левой стены лаборатории, видит, что этот фотон, летящий к нему, имеет частоту ν Л= ν 0[1 – ( v / c )].Знак скорости в формуле меняется на обратный, поскольку наблюдатель у левой стены видит, как частица удаляется от него со скоростью v .Частота волны с его точки зрения ниже, чем в момент излучения, это объясняется доплеровским эффектом. Следовательно, суммарный направленный вправо импульс, который лаборатория получит от двух фотонов, равен импульсу, который был передан летящим вправо фотоном h ν 0[1 + ( v / c )]/ с минус импульс, сообщенный фотоном, летящим влево, h ν 0[1 – ( v / c )]/ с . Имеем формулу 2 h ν 0( v / c 2) для общего импульса вправо, который два фотона сообщают лаборатории. Лаборатория приобретает такой общий импульс, поскольку более высокочастотный (голубой) фотон, летящий вправо, ударяет стену сильнее, и этот удар не компенсируется более слабым толчком, который сообщает летящий влево более низкочастотный (красный) фотон. Итак, 2 h ν 0= Δ E – это всего лишь энергия, испускаемая частицей в виде двух фотонов. Направленный вправо импульс, полученный лабораторией, равен Δ E v / c 2.Множитель v / c 2получается из множителя v / c , обусловленного доплеровским смещением, и множителя 1/ c в силу соотношения импульса и энергии, которую несут фотоны.

По закону сохранения импульса величина импульса, приобретенного лабораторией, должна быть равна величине импульса, потерянного частицей. Импульс частицы равен mv (поскольку v << c , формула Ньютона для импульса в данном случае точна). Скорость частицы не изменяется, и поэтому потерять часть импульса mv частица может лишь одним способом – потеряв часть массы. Уменьшение ее импульса составляет v Δ m , где Δ m – масса, утраченная частицей.

Приравняв Δ E v / c 2= v Δ m , находим, что Δ E / c 2= Δ m . Невысокая скорость v нашей частицы сокращается! Поскольку v << c , ответ не зависит от v . Умножив обе части формулы на c 2, получим Δ E = Δ mc 2. Частица теряет массу. Количество утраченной массы Δ m , умноженное на c 2, дает количество энергии, унесенной фотонами Δ E . Убираем знаки «дельта» (Δ) с обеих сторон тождества и получаем E = mc 2. Энергия, отдаваемая двумя фотонами, равна произведению массы, которую утрачивает частица, на скорость света в квадрате c 2. Теряя массу, частица испускает некоторое количество энергии, определяемое по формуле E = mc 2. Во множестве книг объясняется важность этой формулы и рассказывается, как она устроена, но там не пишут, как выводится эта формула. Теперь мы вам об этом рассказали.