Мартин Гарднер - Теория относительности для миллионов

Рассмотрим геометрическую точку. Она не имеет размера. При движении вдоль прямой она порождает линию, имеющую одно измерение. Будем двигать прямую под прямым углом к ней самой, и она создаст плоскость, имеющую два измерения. Если двигать плоскость под прямым углом к ней самой, то она образует трехмерное пространство. И это тот предел, до которого мы можем дойти в своем воображении.

Но математик представляет себе (не в том смысле, что он создает в своем воображении какую-то картину, а в том смысле, что он разрабатывает математический аппарат) движение трехмерного пространства в направлении, перпендикулярном всем его трем измерениям. Это порождает четырехмерное евклидово пространство. Нет никакой необходимости останавливаться на четырех. Мы можем переходить к пространствам пяти, шести, семи или более измерений. Все эти пространства евклидовы. Они представляют собой развитие евклидовой геометрии точно так же, как евклидова стереометрия является развитием евклидовой планиметрии.

Евклидова геометрия основана на нескольких аксиомах, одной из которых является знаменитая аксиома о параллельных прямых. Она гласит, что на плоскости через данную точку, расположенную вне данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную этой прямой.

Говорят, что евклидова поверхность, на которой выполняется этот постулат, плоская. Она имеет нулевую кривизну и бесконечную площадь. Неевклидова геометрия — это такая геометрия, в которой аксиома о параллельных прямых заменена другой аксиомой. При этом возможны два существенно различных случая.

В первом случае, называемом эллиптической геометрией, говорится, что на поверхности через данную точку, расположенную вне заданной линии, не может быть проведено ни одной параллельной ей линии. Поверхность сферы представляет собой грубую, неточную модель неевклидовой поверхности такого типа. «Наиболее прямой» линией на сфере является большой круг (круг с диаметром, равным диаметру сферы). Все большие круги пересекаются друг с другом, и поэтому невозможно, чтобы два больших круга были параллельны. Говорят, что неевклидова поверхность этого типа имеет положительную кривизну. Такая кривизна приводит к тому, что поверхность замыкается сама на себя. Она имеет конечную, а не бесконечную площадь.

Неевклидова геометрия другого типа, называемая гиперболической, — это геометрия, в которой евклидов постулат о параллельных прямых заменен постулатом, гласящим, что на поверхности через точку, расположенную вне данной линии, проходит бесконечное множество параллельных ей линий. Грубой моделью части поверхности такого типа является седловидная поверхность. Говорят, что такая поверхность имеет отрицательную кривизну. Она не замыкается сама на себя. Подобно евклидовой плоскости, она тянется до бесконечности во всех направлениях.

И эллиптическая, и гиперболическая геометрии представляют собой геометрии поверхностей постоянной кривизны. Это означает, что кривизна везде одна и та же, объекты не претерпевают искажений при переходе из одной точки в другую. Неевклидова геометрия более общего типа, обычно называемая римановой геометрией, это такая геометрия, в которой кривизна может меняться от точки к точке любым заданным образом.

Точно так же, как имеются евклидовы геометрии пространств 2, 3, 4, 5, 6, 7…. измерений, существуют неевклидовы геометрии 2, 3, 4, 5, 6, 7…. измерений.

При разработке общей теории относительности Эйнштейн счел необходимым использовать четырехмерную риманову геометрию. Однако вместо четвертого пространственного измерения Эйнштейн выбрал в качестве четвертого измерения время. В понятии четвертого измерения нет ничего таинственного или мистического. Просто это означает, что каждое событие, которое имеет место во Вселенной, представляет собой событие, происходящее в четырехмерном мире пространства — времени.