Тулио Редже - Этюды о Вселенной

Результат, полученный Геделем, выходит за пределы узких рамок арифметики, оказывая влияние также на кибернетику. Немного времени спустя после открытия Геделя математик Тьюринг заметил, что все вычислительные машины могут быть заменены всего одним простейшим и даже очень медленным калькулятором, так как, если не ограничивать используемую память, такой калькулятор воспринимает программы произвольной длины и сложности. в принципе можно составить бесчисленное множество таких программ, но, к счастью, их можно объединить и хранить вместе и составить полный их перечень. Не все программы будут полезны, а из-за некоторых машина может даже входить в режим непрерывно и безостановочно повторяющихся вычислений. Если же все работает нормально, то в соответствии с приказами в программе машина в ответ на введенное в нее число печатает другое, т.е. производит вычисления: например, может напечатать квадрат какого-нибудь числа, удвоить его или вывести число, следующее за числом, введенным первоначально. в общем случае машина может вычислять невероятно сложные функции введенного в нее исходного числа.

По определению функции, вычисляемые «машиной Тьюринга», являются «вычислимыми», поэтому инструкции по их вычислению могут быть переданы разным машинам без опасения, что возникнут ошибки или неясности. Вместе с тем существуют функции, не поддающиеся вычислению, более того, они составляют подавляющее большинство, хотя трудно дать определение такой функции. Как ни странно, но пример невычислимой функции следует прямо из теории «машины Тьюринга». Присвоим значение «единица» целому числу, соответствующему нормально работающей машине; «нуль», напротив, будет соответствовать машине, вошедшей в режим безостановочных повторных вычислений. Таким образом мы задали невычислимую функцию, и доказательство этого повторяет доказательство, данное Геделем для логических систем. Зная эту функцию, мы можем сказать заранее, не прибегая к запуску в работу самой программы, остановится ли соответствующая машина или будет работать вхолостую.

Это не абстрактный вопрос: было бы очень удобно знать заранее, работает ли программа или нет, прежде чем запускать ее в машину. Результат Тьюринга подтвердил то, что уже чувствовали интуитивно пользователи машин, а именно, что нет способа определить с уверенностью, работает ли программа, кроме как испытать ее на практике.

Всегда ли остается неизвестной функция, не поддающаяся вычислению? Ответ Геделя прост: даже если вычислены первые сто или тысяча значений этой функции, мы все равно ничего не узнаем о том, как вычислить последующее значение, так что требуются человеческий разум и творческие усилия, чтобы выйти из жестких рамок программирования для вычислительной машины. Снова и снова мы убеждаемся в том, что вычислительная машина удивительно прилежна и вместе с тем столь же глупа: она выполняет вычисления, не думая, только по предварительно составленной подробной инструкции. Конечно, может оказаться, что когда-нибудь будут созданы новые, более умные роботы, подобные описанным в книгах Айзека Азимова.

Тем, кто упрекал Геделя в разрушении целостности фундамента математики, ученый всегда отвечал, что, по существу, основы остались столь же незыблемыми, как и прежде, а его теорема просто привела к переоценке роли интуиции и личной инициативы в одной из областей науки, в той, которой управляют железные законы логики, оставляющие, казалось бы, мало места для указанных достоинств. Несмотря на уверения идеалистов, математика оказалась настоящим искусством, и достойный преклонения пример творческого служения этому искусству дал сам Гедель в своих холодных, написанных только по существу дела работах.

В занимательной книге Артура Орд-Хьюма «Вечное движение» рассказывается об истории идеи вечного движения и о том, как в течение столетий целые толпы непризнанных изобретателей были одержимы мыслями о постройке вечного двигателя. Бессмысленно в этих случаях апеллировать к закону сохранения энергии: великие «запреты» физики никогда не вызывали симпатии. Также бессмысленно, например, говорить людям, играющим в лотерею, что они обязательно должны проигрывать (в среднем), чтобы организация лотерей приносила государству доход. Все равно мы будем встречать изобретателей, уверенных в близости окончательного решения, и рассерженных игроков, убежденных в том, что сумеют выиграть, используя самый последний вариант некоей «математической» системы. Я сам встречал трех «вечных» фантазеров, с другими общались знакомые мне журналисты. Как правило, речь идет о механизмах, использующих те или иные виды эксцентриков. Орфиреус, настоящее имя которого было Иоганн Эрнст Элиас Бесслер (1680...1745), даже построил такой «вечный» двигатель, с одинаковой легкостью вводивший в заблуждение королей, обывателей и профессоров, среди которых, в частности, был профессор Гравезанд из Лейдена, в хвалебных тонах написавший о двигателе Ньютону. Однако и машина Орфиреуса была разрушена.