Арсений Чанышев - Курс лекций по древней и средневековой философии

Евклид определяет точку как то, что не имеет частей. Линия - длина без ширины. Концы линии - точки. Прямая линия равно расположена по отношению к точкам на ней. Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину. Концы поверхности - линии. Плоская поверхность есть та, которая равно расположена по отношению к прямым на ней. И так далее. Таковы определения Евклида.

Далее следуют постулаты, т. е. то, что допускается. Допустим, что от всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию, что ограниченную прямую можно непрерывно продолжить по прямой, что из любой точки, принятой за центр, можно всяким раствором циркуля описать круг, что все прямые углы равны между собой и что если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то, будучи продолженными, эти две прямые рано или поздно встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.

Аксиомы говорят о том, что величины, равные третьей величине, равны между собой, что если к равным прибавить равные, то и целые будут равными, и т. д.

Далее, в первой же книге, рассматриваются треугольники, параллельные линии, параллелограммы. Вторая книга "Начал" содержит геометрическую алгебру: числа и отношения чисел выражаются в пространственных величинах и в их пространственных же отношениях. Третья книга "Начал" исследует геометрию круга и окружности, четвертая - многоугольники. Пятая книга дает теорию пропорций как для соизмеримых, так и для несоизмеримых величин. Книга VI - приложение этих теорий в планиметрии. Книги VII-X содержат теорию чисел, причем X книга трактует иррациональные линии. XI, XII и XIII книги "Начал" посвящены стереометрии, при этом в XII книге применяется метод исчерпания.

Евклида нельзя считать "отцом геометрии". Мы уже говорили, что свои "Начала" были у Гиппократа Хиосского в V в. до н. э. В IV в. до н. э. "Начала" были у Леона, и у Феудия Магнесийского. Метод исчерпания применял Евдокс Книдский, возможный учитель Евклида по Академии. Проблемой иррациональности занимались пифагореец Гиппас Метапонтский, Феодор Киренский, Теэтет Афинский... Однако Евклид-не простой передатчик сделанного до него математиками. В "Началах" Евклида мы видим завершение математики как стройной науки, исходящей из определений, постулатов и аксиом и построенной дедуктивно. Математика Евклида - вершина древнегреческой дедуктивной науки. Она резко отличается от ближневосточной математики с ее практической приблизительной рецептурностью. Не случайно "Начала" Евклида по их логической стройности, ясности, изяществу и законченности сравнивают с афинским Парфеноном.

Правда, существовала легенда, что сам Евклид - не единственный автор дошедших до нас "Начал", что он сам дал лишь догматическое изложение материала, без доказательств, что доказательства были добавлены вышеупомянутым Теоном Александрийским. Теон Александрийский действительно занимался проблематикой "Начал". Но не он один. Этим же занимались и Прокл, и Симплиций. "Начала" Евклида были частично переведены на латинский язык Цензорином и Боэцием. Но эти их переводы затерялись. На Западе вплоть до конца ХII в. находились в обращении тезисы Евклида без доказательств.

Что касается Ближнего Востока, то там Евклид был известен в переводах с греческого на сирийский, а с сирийского - на арабский. Первым арабским философом, который заинтересовался Евклидом, был, по-видимому, аль-Кинди (IX в.). Его интерес ограничивался евклидовой "Оптикой". Однако затем последовала масса переводов и комментариев на "Начала". Эти арабские тексты были переведены в XIII в. на латинский язык. |Первый латинский перевод с греческого оригинала был делан в Европе в 1493 г. и отпечатан в 1505 г. в Венеда. Но до 1572 г., когда Федерико Коммандино в своем атинском переводе исправил эту ошибку, Евклида-математика путали с Евклидом Мегариком.

Из постулатов Евклида видно, что Евклид представлял пространство как пустое, безграничное, изотропное и трехмерное. Бесконечность и безграничность пространства предполагается такими постулатами Евклида, как тезисы о том, что от всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию, что ограниченную прямую можно непрерывно продолжить по прямой, что из всякого центра и всяким раствором циркуля может быть описан круг.

Особенно знаменит пятый постулат Евклида, который буквально звучит так (выше мы дали пересказ): "Если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные неограниченно эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых". Позднее Прокл выразил этот постулат так: "Если прямая пересекает одну из двух параллельных линий, то она пересечет также и вторую параллельную". Более привычная для нас формула: "Через данную точку можно провести лишь одну параллельную к данной прямой" - принадлежит Джону Плейферу.