Татьяна Тихоплав - Научно-эзотерические основы мироздания. Жить, чтобы знать. Книга 2

Чтобы познакомиться с пространством Римана (с пространством постоянно положительной кривизны), возьмем в руки глобус, но отвлечемся от физической географии планеты, оставив только сетку меридианов и параллелей. Сфера – это пространство с постоянной положительной кривизной. Что представляет собой прямая линия на сфере? Если понимать прямую линию как линию нулевой кривизны, то на сфере прямых нет; любая изогнута, любая имеет кривизну. Но если прямая – это кратчайшее расстояние между двумя точками, то дело обстоит иначе. На сфере прямая – это часть дуги.

Следовательно, все меридианы – это прямые на сфере. И экватор тоже. Параллели определению прямых не отвечают, ибо длина их дуг больше кратчайшего расстояния между двумя точками, то есть между концами этих же дуг.

Сферическое пространство, или пространство постоянной положительной кривизны, замкнуто и конечно (от слова «конец»), также как замкнут и конечен шар. Таким же свойством обладает и другое пространство положительной кривизны – эллиптическое. (Как окружность есть частный и предельный случай эллипса, так и шар есть частный и предельный случай эллипсоида. Поэтому эллиптическая поверхность, а равно и эллиптическое пространство, есть обобщение сферических поверхности и пространства.)

Замкнутость и конечность пространства Римана нанесли удар по укоренившимся представлениям о бесконечности пространства.

Риман понял, что слова «безграничность» и «бесконечность» имеют разный смысл. Безграничность – значит без границ! А бесконечность – это то, что простирается без конца. Это расстояние, которое хотя и измеряемо, но в принципе не может быть измерено до конца, потому что конца просто нет.

Он утверждал: «При рассмотрении пространственных построений в направлении неизмеримо большого, следует различать свойства ограниченности и бесконечности – первое из них есть свойство протяженности, второе – метрическое свойство»[4].

Чрезвычайно важен физический смысл, но еще более важен философский смысл этого открытия. Ведь философы были убеждены, что бесконечность и безграничность – синонимы.

Риман говорил: «То, что пространство есть неограниченное трижды протяженное многообразие [3] Под трижды протяженным многообразием имеется в виду трехмерное пространство. , является допущением, принимаемым в любой концепции внешнего мира. Но отсюда никоим образом не следует бесконечность пространства: напротив, если припишем пространству постоянную меру кривизны, то придется допустить конечность пространства, как бы мала ни была мера кривизны, лишь бы она была положительной» [4].

Именно безграничное, но конечное пространство положит А. Эйнштейн в основу своей теории относительности.

А как обстоят дела с параллельными прямыми в пространстве Римана? Оказывается, параллельных в геометрии Римана нет. Ибо меридианы, которые являются прямыми, обязательно пересекаются, и даже в двух точках.

Таким образом, в плоскости Евклида всегда есть одна прямая, параллельная исходной, в плоскости Лобачевского – две, а в плоскости Римана их нет вообще. Интересна также ситуация с углами. Если у Лобачевского сумма углов треугольника меньше суммы двух прямых, у Евклида – равна сумме двух прямых, то у Римана – больше суммы двух прямых. По этим показателям геометрия Евклида оказалась промежуточной между геометрией Лобачевского и Римана.

Отметим, что геометрия Римана называется еще «эллиптической», геометрия Лобачевского – гиперболической, а геометрию Эвклида называют плоской.

Работу по развитию неевклидовой геометрии продолжил целый ряд ученых, подхвативших идеи Лобачевского и Римана.

Очень урожайным оказался 1868 год. В печати одна за другой стали появляться статьи о неевклидовой геометрии. Это были работы итальянского математика Э. Бельтрама, поразительные статьи Гельмгольца, и, наконец, была опубликована переписка великого Гаусса с друзьями, поскольку обет молчания после его смерти закончился. Из переписки следовало, что Гаусс и сам упорно занимался неевклидовой геометрией, высоко оценивал работы Лобачевского, но при жизни промолчал и не поддержал открыто русского ученого, подвергавшегося осмеянию и гонениям.

С 1868 года началось массовое признание новых идей неевклидовой геометрии. Отныне она становится одной из магистральных дорог в математике. Продолжили работу блестящий ученый конца XIX века профессор Геттингенского университета Давид Гильберт, замечательный российский математик Александр Фридман, блестящий английский математик Уильям Клиффорд и т. д.