Валентин Асмус - ЛОГИКА

§ 2. В широком смысле слова доказательством называется всякий способ уяснения оснований, по которым известное суждение считается истинным. В этом широком смысле слова к доказательствам принадлежат также и выводы , или умозаключения.

При выводе основанием для заключения является не непосредственное восприятие, но истинность других суждений, признав которые в качестве истинных мы не можем не признать истинным и заключение. При выводе истинность суждения не просто утверждается, но доказывается. Однако доказательство здесь состоит лишь в усмотрении необходимой связи между посылками и заключением, самые же посылки принимаются в качестве истинных без исследования и без проверки их истинности.

§ 3.В более узком и специальном смысле доказательством называется не всякий вывод, но особый вид вывода или особая форма обоснования истины. В этом — специальном — смысле доказательством называется исследование истинности (или ложности) суждений . А именно: доказательство есть такое умозаключение, посредством которого удостоверяется истинность (или ложность) данного суждения.

Сравним с этой точки зрения два следующих вывода:

Первый . «Так как все злаки цветут колосками и так как все бамбуки — злаки, то все бамбуки также цветут колосками».

Второй . «Если верно, что все злаки цветут колосками, а также что все бамбуки — злаки, и если умозаключение правильно, то верно и то, что все бамбуки цветут колосками. Но утверждения, что все злаки цветут колосками и что все бамбуки — злаки, истинны. Также правилен и самый ход умозаключения. Следовательно, заключение, что все бамбуки цветут колосками, истинно».

В широком смысле понятия оба эти вывода — доказательства . В специальном смысле понятия доказательством будет лишь второй вывод, первый же будет обыкновенным умозаключением. Первый вывод есть усмотрение необходимой связи между посылками и заключением. Второй вывод есть доказательство того, что заключение, т. е. суждение «все бамбуки цветут колосками», истинно. Первый вывод состоит только из сопоставления посылок и из усмотрения вытекающего из них заключения. Второй — более сложен и представляет умозаключение об умозаключении. А именно: умозаключение, составляющее предмет другого умозаключения, есть условное умозаключение: «Если суждения «все злаки цветут колосками» и «все бамбуки — злаки» истинны и если само умозаключение — правильное, то заключение «все бамбуки цветут колосками» истинно». Второе умозаключение удостоверяет истинность первого: «Так как истинно, что все злаки цветут колосками и что все бамбуки—злаки, и так как умозаключение оказалось правильным, то заключение «все бамбуки цветут колосками» истинно».

§ 4.Можно было бы подумать, будто отличие вывода, или умозаключения, от доказательства состоит в том, что в выводе мысль идёт от посылок к заключению, а в доказательстве, напротив, — от доказываемого положения к посылкам, или основаниям, из которых оно выводится.

В действительности как в выводе, так и в доказательстве ход мысли может быть и тот и другой. В одних случаях вывод состоит в том, что даны посылки и требуется извлечь из них заключение. Например, даны посылки: «калий — металл», «калий не тонет в воде»; требуется ответить на вопрос: какое заключение следует из этих посылок? Ответ: «некоторые металлы не тонут в воде». Здесь мысль идёт от посылок к заключению.

Другой пример. Дано суждение: «некоторые металлы не тонут в воде»; требуется ответить на вопрос: какими посылками может быть обосновано это суждение как заключение вывода? Ответ: такими посылками могут быть, например, посылки: «калий — металл» и «калий не тонет в воде». Здесь мысль идёт от заключения к обосновывающим это заключение посылкам.

Но не иначе обстоит дело и с доказательством. И в доказательстве возможны, как мы убедимся ниже, два способа установления истинности доказываемого положения: один состоит в том, что от установленных или признанных положений рассуждение идёт через ряд следствий, выведенных из этих положений, к доказываемому суждению; другой состоит в том, что, рассмотрев доказываемое суждение, показывают, что, при условии, если это суждение принято в качестве истинного, из него вытекает ряд положений, истинность которых уже установлена и которые были доказаны другими способами.

Таким образом, отличие доказательства от вывода, или умозаключения, вовсе не в том, что в выводе мысль идёт от посылок к заключению, а в доказательстве — наоборот. И в выводе и в доказательстве равно возможны оба эти хода мысли.