Даглас Хофштадтер - ГЕДЕЛЬ, ЭШЕР, БАХ - эта бесконечная гирлянда

Май MMI

Позвольте мне начать с истории, случившейся со мной в раннем детстве, — по-моему, эта история довольно показательна. Когда мне было три или четыре года, меня внезапно поразила сияющая, таинственная красота того факта, что ДВЕ ДВОЙКИ — ЭТО ЧЕТЫРЕ. Только маленький ребенок может любить что-либо так глубоко, с таким самозабвением. Может быть, дело было в том, что маленький Дагги подсознательно почувствовал, что эта короткая фраза двусмысленна, что в ней одновременно заключены две различных истины, одна — о понятии «2 + 2», другая — о понятии «2 × 2» (впрочем, сомневаюсь, что в те времена я знал что-либо об умножении). Другое возможное объяснение моей очарованности понятием «двух двоек» — то, что оно прилагало идею к себе самой — а именно, идею двойки к самой этой двойке «Давайте-ка возьмем двойку ДВА раза!»

Как бы мы ни старались выразить первозданную красоту этой (или какой-нибудь другой) идеи словами, вскоре очарование начинает таять и мы, разочарованные, умолкаем. Однако, жадный до развлечений ребенок, как и взрослый, интереса не теряет и желает заново испытать радость открытия с помощью какого-нибудь обобщения или аналогии. В своем нежном возрасте я не являлся исключением. Я попытался обобщить мою чудесную идею «двойки, действующей саму на себя», и у меня получилось... Сказать вам по правде, я и сам не знаю, что у меня тогда получилось — и тут я подхожу к самому главному в этой истории.

Когда в 1979 году я писал предисловие к английской версии «Гёделя, Эшера, Баха», я думал, что понял, какое обобщение придумал малыш Дагги. Я написал, что малыш сформулировал идею «трех троек» и спросил маму (хотя искренно сомневался в том, что она — или кто-либо другой в целом мире — в состоянии мыслить на таком высоком уровне абстракции), что получится в результате этой немыслимой операции. Однако после того, как книга вышла в свет, я продолжал размышлять о том случае и пытаться вспомнить точнее, что же все-таки произошло. В голове у меня всплывали разные полузабытые картинки, вроде нашего первого автомобиля, в котором мы как раз сидели, когда я задал свой вопрос, моего любимого розового одеяльца — оно тогда было в машине — и множества других не относящихся к делу подробностей. Чем больше я напрягал память, тем расплывчатее становился мой «синтетический бриллиант».

Я 2001 года, в отличие от меня 1979 года, нахожу маловероятным, чтобы маленький Дагги действительно считал свою мать неспособной понять идею «трех троек» — в конце концов мама была для него источником сверхъестественной мудрости! Сейчас я склонен полагать, что Дагги пытался вообразить и затем выразить свой маме — МОЕЙ маме! — гораздо более абстрактное понятие, чем то, которое смышленый ребенок может описать как «ТРИЖДЫ три тройки».

Трехлетним малышом я не мог додуматься до того, что эта идея может быть представлена геометрически и даже построена в виде кубика из трех 3x3 слоев. Я был еще слишком мал для того, чтобы воплотить мое смутное прозрение в конкретные образы. Меня увлекало САМО ЭТО ВЫРАЖЕНИЕ — и в частности, содержащаяся в нем волшебная идея «самоприложения троичности».

Если бы я был поискушеннее, я мог бы понять, что на самом деле я искал третью бинарную операцию в натуральной (и бесконечной) последовательности «сложение, умножение, возведение в степень...» С другой стороны, если бы я был настолько искушен, то мог бы пойти дальше и обнаружить смертельный недостаток, заключающийся в слове «бинарная», означающее всего-навсего «двоичная». Этот недостаток бросается в глаза в краткой записи моего детского прозрения:

3 3

Да, к сожалению, здесь только две копии тройки; возведение в степень — бинарная операция.

Увидев, что моя наклонная башня имеет только два этажа, я, разумеется, захотел бы пойти дальше и построить вот это трехэтажное сооружение, опасно смахивающее на Пизанскую башню.

С первого взгляда кажется, что здесь все в порядке — но увы, я мог бы затем понять, что даже такая башня может быть сокращена до «3^3» (маленькая шапочка обозначает операцию #4 в упомянутой последовательности). Таким образом, двоичность опять вползла бы в построение и мои надежды были бы обмануты.

Думаю, что на этом этапе я бы уже понял, в чем тут дело, и сообразил, что «самоприложение троичности» просто невозможно реализовать в такой совершенной и прекрасной форме, как это можно сделать с двоичностью — там-то всегда выходит четыре, что бы с двумя двойками ни проделывали. Неважно, какую из бесконечной последовательности двоичных операций вы проделаете — сложение, умножение, возведение в степень — вы всегда получите один и тот же результат: четыре. С другой стороны, «три плюс три» совсем не то же самое, что «трижды три» — а это, в свою очередь, не то же самое, что «три в третьей степени», или «три шапка три», или любая из последующих более сложных операций последовательности.