В Степин: Новая философская энциклопедия. Том второй Е—M

424

ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ смысле. Можно далее ввести понятия закона логики предикатов (логически истинного предложения теории): |= А тогда и только тогда, когда при любой оценке V (т. е. в любой теории) А принимает значение И. Множество формул, являющихся законами классической логики предикатов первого порядка, вообще говоря, бесконечно. Среди них — каждый подстановочный случай произвольной тавтологии логики высказываний (т. е. результат замещения в ней пропозициональных переменных формулами языка логики предикатов). Вот некоторые другие наиболее важные типы общезначимых формул. Законы удаления квантора общности и введения квантора су- шествования: VoAz>A(t), A(t)=>3aA, где A(t) — результат правильной подстановки терма t вместо всех свободных вхождений предметной переменной а в формулу А (подобная подстановка называется правильной, когда никакое из заменяемых вхождений а в А не находится в области действия квантора по переменной, входящей в состав терма t). Законы взаимовыразимости кванторов: VaA=-За-А, ЗаА=-• Va-A (где = — знак эквиваленции, которую можно ввести посредством определения (А = В) = w (A z> В) л (В z> A)). Законы перестановочности кванторов: VaV?A => V?VaA, ЗоЗрА => ЗрЗаА, 3aV?A z> V?3aA Законы пронесения и вынесения кванторов: Va-тА = Заа-А, За-А^Va-A, Va(A л В) = ( VaAA л VaB), За(А v В) = (aaA v ЗаВ), (ЗаА з VaB) з Va(A з В), За(А з В) = (VaA з ЗаВ), Va(A v В) = (AvVaB), За(А л В) = (А л ЗаВ), Va(A з В) = (А з VaB), 3a(A з В) = (А з ЗаВ), Va(Bz>A) = (3aBz>A), 3a(Bz>A) = (VaBz>A) (в формулах последних шести типов переменная a не должна содержаться свободно в формуле А). Как известно, помимо семантического представления логических теорий имеется другой, синтаксический метод их построения — в виде логических исчислений. Суть этого метода состоит в формулировании точных правил оперирования со знаками (формулами языка), позволяющими без использования каких-либо семантических понятий («интерпретация», «модель», «истина») осуществлять обоснование логических законов и форм корректных рассуждений. При этом в исчислениях постулируется лишь некоторый минимум дедуктивных средств, дающий тем не менее возможность обозреть все бесконечное множество законов и модусов правильных рассуждений соответствующей логической теории. Существует много различных способов построения логических исчислений (Иотслате irwimw, Натуральный вывод, Аналитические таблицы), в том числе и классического исчисления предикатов первого порядка. Исторически первыми появились аксиоматические исчисления (исчисления гильбертовского типа), в которых, как и при аксиоматическом представлении логики высказываний, статусом аксиом наделяется конечное число общезначимых формул и постулируется некоторый набор правил вывода. Однако в силу сложности формулировок правил подстановки, используемых в этом случае, удобнее строить аксиоматическое исчисление предикатов со схемами аксиом, каждой из которых соответствует бесконечное число аксиом одного и того же типа. Примером одной из возможных аксиоматизаций логики предикатов может служить следующая: в качестве исходного логического символа алфавита, наряду с пропозициональными связками -I, л, v, з, выбирается лишь KBamopV. Постулируется некоторый полный набор схем аксиом классического исчисления высказываний (они задают смысл -ц л, v, з. Дополнительно вводятся две схемы аксиом, задающих смысл квантора V: закон удаления квантора Vaz> A(t) и один из законов пронесения квантора Va(A з В) з (А з VaB) с указанными ранее ограничениями. В исчислении имеется также два правила вывода: АЕ? ? (modusponens), —^- (генерализация). В VaA Квантор существования вводится по определению: ЗаА =^-1 Va-A Следующий этап в построении исчисления — введение понятий доказательства и вывода, а также синтаксических аналогов понятия общезначимой формулы и отношения логического следования — понятия теоремы и отношения выводимости. Доказательством называют непустую конечную последовательность формул, каждая из которых либо является аксиомой исчисления, либо получена из предшествующих формул последовательности по одному из исходных правил вывода. Последняя формула доказательства называется теоремой или доказуемой в исчислении формулой (метаугверждение «А — теорема» принято записывать так: |—А). Вывод из множества допущений Г отличается от доказательства тем, что в нем разрешено дополнительно использовать формулы из Г. Однако, если ставится задача адекватного воспроизведения отношения логического следования, понятие вывода должно быть дополнено наложением некоторых ограничений на применение правила генерализации (дело в том, что—в отличие от modus ponens—из посылки А данного правила не следует логически его заключение VaA). Указанная проблема может быть решена различными способами, напр., введением понятия вывода с варьируемыми переменными. Довольно естественным представляется другой путь, основанный на понятии зависимости формул вывода от допущений: каждое допущение зависит от самого себя; аксиома не зависит от допущений; результат применения modus ponens зависит от тех допущений, от которых зависит хотя бы одна из посылок правила; при применении генерализации зависимости сохраняются. Теперь необходимые ограничения в определении вывода можно сформулировать следующим образом: формула VaA может быть получена по правилу генерализации из А, зависящего от множества допущений А лишь в том случае, когда a не имеет свободных вхождений ни в одну формулу из А. Если имеется вывод из множества допущений Г, последней формулой которого является формула В, говорят, что В выводима из Г (Г |— В). Отношение выводимости в логике предикатов обладает одним важным свойством, которое фиксируется в т. н. дедулцш теореме: если ГА |— В, то Г}—Аз В. Данное свойство существенно упрощает процедуру построения выводов и может быть использовано в качестве производного правила вывода. Другим подобным правилом является т. н. правило эквивалентной замены: если р- A s В, то |— СА = Св (где СА — произвольная формула языка логики предикатов, содержащая в своем составе некоторое вхождение формулы А, а Св—результат замещения выделенного вхождения А в СА формулой В).