Валерий Савченко - Начала современного естествознания - концепции и принципы

Это очень важный, фундаментальный для всего естествознания момент. Оказывается, мы имеем дело с принципиальной неопределенностью не только в микромире, в мире квантов, но и в мире макроскопических, непосредственно наблюдаемых нами явлений.

Рассмотрим еще раз вертикальную упругую пластинку (линейку), изображенную на рис. 1. Ее состояние описывается количественно величиной стрелы прогиба X. Изменение этой величины определяют два управляющих параметра: сила F y, действующая вдоль нее (вдоль оси у), которую будем считать положительной, когда она растягивающая, и отрицательной, когда она сжимающая, и сила F x, действующая на ее середину в перпендикулярном направлении (вдоль оси х).

Рис. 1. Простейшая система с «катастрофой» — упругая линейка под действием продольной и поперечной сил. Нижний конец линейки закреплен шарнирно в начале координат, верхний не закреплен, но может двигаться только вдоль вертикальной оси. а) если F y=0, стрела прогиба X прямо и однозначно зависит от величины силы F x; б) если Fy < 0, одному и тому же значению F xсоответствуют два устойчивых положения линейки — с прогибами X 1и X 2переход между которыми возможен только скачком.

Сила F xположительна, если направление ее действия совпадает с направлением оси х. Если сила F xотсутствует, а сила F положительна — линейка прямая и при этом система находится в устойчивом состоянии (если появится сила F x, отличная от нуля линейка прогнется, как показано на рис. 1а, но если эта сила исчезнет — исходное состояние восстановится); если сила F отрицательна, состояние «линейка прямая» становится неустойчивым: любое случайное сколь угодно малое воздействие скачком переведет ее в одно из возможных симметричных состояний — «линейка выгнута вправо» или «линейка выгнута влево».

Какое из этих состояний реализуется при отсутствии боковой силы, предсказать невозможно: при переходе силы F от положительных значений к отрицательным, система проходит точку бифуркации. Параметр, воздействующий на систему подобным образом, называется расщепляющим, так как его изменение приводит в точке бифуркации к расщеплению единой кривой, описывающей поведение системы, на две равнозначных. Выбор между этими двумя линиями поведения может определяться случаем.

Если сила F отрицательна и линейка выгнута влево, положительная сила F xбудет деформировать линейку, незначительно уменьшая стрелу прогиба в середине линейки X, пока не произойдет прощелкивание вправо (рис. 16). Для такого прощелкивания потребуется тем большая сила F x, чем больше отрицательная (сжимающая) величина силы F.

На рис. 2 зависимость X (F x, F y) показана на трехмерном графике. Она представляет собой изогнутую поверхность с особенностью типа «сборка». Это действительно сборка — хорошо знакомая нам деталь покроя одежды. Она состоит из двух складок, сходящихся вместе в одной точке — точке сборки. Складки и сборка — это стандартные особенности многообразия катастрофы — поверхности равновесия, отражающей зависимость исследуемой характеристики системы от управляющих параметров. Каждая точка такой поверхности описывает некоторое состояние системы и называется изображающей точкой. Проекция сборки на плоскость управляющих параметров имеет вид угла с острием и называется отображением катастрофы. Каждой точке внутри этого угла соответствуют три значения X, вне угла — одно.

Рис. 2. Зависимость X от управляющих параметров F xи F y, изображенная на трехмерном графике: поверхность равновесия с особенностью типа «сборка». Отображение катастрофы на плоскости управляющих параметров имеет вид угла с острием, каждой точке а внутри которого отвечают три точки на поверхности равновесия — b, с и d. В области катастрофы при изменении управляющих параметров конечное состояние системы зависит не только от конечных значений этих параметров, но и от пути, по которому эти значения были достигнуты — переход в точку а из точки о на плоскости управляющих параметров может перевести соответствующую точку на поверхности равновесия в точку а, если он осуществляется по прямой через ближайшую сторону угла, и в точку d, если путь перехода идет в обход точки сборки.

На трехмерном графике рис. 2 лучше видно влияние каждого из двух управляющих параметров. При изменении расщепляющего параметра F y, проекция изображающей точки на плоскость управляющих параметров движется вдоль оси угла, образуемого проекцией сборки и, если нормальный параметр F xравен 0, проходит через острие угла. При этом лишь от случая зависит, по верхнему или по нижнему листу сборки будет двигаться дальше сама изображающая точка на многообразии катастрофы.