Роджер Пенроуз: Новый ум короля: О компьютерах, мышлении и законах физики

Кажется невероятным, но это так. А чтобы в это поверить, я рекомендовал бы читателю самостоятельно проделать вышеописанную процедуру, для начала — с числом «3» (где мы раскладываем тройку как 2 1+1, что дает последовательность 4, 3,4, 2, 1, 0); а затем — что более важно — попробовать то же самое с «4» (при этом стартовое разложение в виде 4 = 2 2приводит к вполне закономерно возрастающему ряду 4, 27, 26, 42, 41, 61, 60, 84…, который доходит до числа из 121210 695-ти знаков, после чего уменьшается вплоть до нуля!).

Но что кажется еще более удивительным: теорема Гудстейна фактически является теоремой Геделя для той самой процедуры, которую мы изучали в школе под названием математической индукции , как было доказано в свое время JI.Кирби и Дж. Парисом [16]. Как вы, должно быть, помните, математическая индукция позволяет установить справедливость некоторого математического утверждения S ( n ) для n = 1, 2, 3, 4, 5… Доказательство проводится в два этапа: сначала нужно проверить справедливость S ( l ), а затем показать, что, если верно S ( n ), то должно выполняться и S ( n + 1 ). Приняв процедуру математической индукции за Р , Кирби и Парис доказали, что тогда G ( P ) может иметь смысл теоремы Гудстейна.

Следовательно, если мы считаем процедуру математической индукции достоверной (с чем едва ли можно не согласиться), то мы должны верить и в справедливость теоремы Гудстейна — несмотря на то, что при помощи одной лишь математической индукции доказать ее невозможно .

«Недоказуемость» теоремы Гудстейна, понимаемая в этом смысле, вряд ли может помешать нам убедиться в ее фактической справедливости . Наши интуитивные представления позволяют нам расширить действие тех ограниченных приемов «доказательства», которыми мы воспользовались ранее. В действительности сам Гудстейн доказал свою теорему, прибегнув к разновидности метода, который называется «трансфинитной индукцией». В контексте нашего изложения этот метод сводится к систематизации интуитивных ощущений, которые возникают в процессе знакомства с «причиной», по которой теорема Гудстейна и в самом деле верна. Эти ощущения могут родиться практически целиком за счет изучения некоторого числа частных случаев указанной теоремы. И тогда станет видно, как скромная незаметная операция (б)безжалостно «отщипывает» по кусочку от огромной башни «показателей» до тех пор, пока она не начинает постепенно таять и полностью исчезает, — хотя бы на это ушло и невообразимо большое число шагов.

Все это говорит о том, что способность понимать никоим образом не может сводиться к некоторому набору правил. Более того, понимание является свойством, которое зависит от нашего сознания; и что бы не отвечало в нас за сознательное восприятие — это должно самым непосредственным образом участвовать в процессе «понимания». Тем самым, в формировании нашего сознания с необходимостью есть элементы, которые не могут быть получены из какого бы то ни было набора вычислительных инструкций; что, естественно, дает нам веские основания считать, что сознательное восприятие — процесс существенно «невычислимый».

Возможные «узкие места» в этом рассуждении сводятся к следующему. Наша способность (математического) познания может быть результатом вычислительной процедуры или непознаваемой из-за своей сложности; или не непознаваемой, но правильность которой, однако, не может быть установлена; или же ошибочной, хотя почти правильной. Говоря об этом, мы должны прежде всего установить, откуда могут возникать подобные вычислимые процедуры. В книге « Тени разума» я достаточно подробно рассмотрел все такие «узкие места», и я хотел бы порекомендовать эту книгу (равно как и статью Beyond the Doubling of a Shadow в журнале Psyche [17] ) всем читателям, кому интересно было бы ближе познакомиться с настоящим предметом.

Если мы согласимся с тем, что в нашей способности познавать — а следовательно, и в нашей сознательной деятельности в целом — есть нечто, выходящее за пределы чисто алгоритмических действий, то следующим шагом мы должны попытаться выяснить, в каких из наших физических действий может проявляться «существенно неалгоритмическое поведение». (При этом мы негласно предполагаем, что изучение именно «физического действия» определенного вида поможет нам разгадать тайну происхождения сознания.) Я пытаюсь доказать, что таким «неалгоритмическим действиям» нельзя найти место в рамках общепринятых сегодня физических теорий. А значит, мы должны искать соответствующее место, где в научной картине существует серьезный пробел . И я утверждаю, что это «белое пятно» лежит где-то на границе между «субмикроскопическим» миром, в котором правит квантовая механика, и непосредственно воспринимаемым нами макромиром, подчиняющимся законам классической физики.