Леонард Млодинов - Прямоходящие мыслители. Путь человека от обитания на деревьях до постижения миро устройства

Но Орем и другие толковали графики в более качественном смысле, нежели мы в наши дни. Про график «расстояние-время», например, не понимали, что он в каждой точке представляет расстояние, пройденное за время, равное координате на горизонтальной оси. Не понимали и того, что наклон линии на графике представляет скорость тела в каждый момент времени. До Ньютона скорость для физиков была средней, то есть все пройденное расстояние, деленное на продолжительность времени в пути. То были довольно грубые расчеты, поскольку время в них обычно исчислялось часами, днями или даже неделями. Вообще-то засекать короткие промежутки времени с хоть какой-то точностью было и невозможно – вплоть до 1670 года, когда английский часовщик Уильям Клемент изобрел маятниковые «ходики», благодаря которым время стало можно измерять с точностью до секунды.

Пойти дальше средних величин к значениям графиков и их уклонов в каждой отдельной точке – вот откровение Ньютонова анализа. Он взялся разбираться с тем, с чем никто до него не возился: как определить мгновенную скорость тела, ее скорость в каждый миг? Как разделить расстояние, пройденное телом, на затраченное время, если речь идет о временном промежутке размером с точку? Мыслимо ли это вообще? Эту задачу Ньютон и взялся решать в «Черновой книге».

Галилей воображал себе «предельные случаи» – например, плоскость, чей угол наклона все увеличивают и увеличивают, пока он не достигнет прямого, Ньютон же довел этот подход до предела возможности. Чтобы определить мгновенную скорость в данный момент времени, он представил, как будет рассчитывать среднюю скорость традиционно, то есть за некоторый промежуток времени, включая и то мгновение, которое его интересует. Затем он представил себе нечто новое и абстрактное: сужение этого промежутка, еще и еще, пока, в предельном случае, его протяженность не приблизится к нулю.

Иными словами, Ньютон представил, что временной промежуток можно взять столь малым, что он будет меньше любого конечного числа – но все-таки больше нуля. Ныне длина такого промежутка называется «стремящейся к нулю» или «бесконечно малой». Если рассчитать среднюю скорость в определенный промежуток времени, а затем уменьшить этот промежуток до бесконечно малого, получится скорость тела в определенный миг, или мгновенная скорость.

Математические правила нахождения мгновенной скорости в данный момент времени – или, в общем случае, наклона линии в данной точке – и есть основа математического анализа [195] Дифференциального исчисления, если быть точным. Существует и обратный процесс – интегральное исчисление. Понятие «математический анализ» обычно охватывает и то, и другое. [В англоязычной литературе часто встречается объединяющее именование дифференциального и интегрального исчислений – просто «исчисление». – Примеч. перев.] . Если атомы – неделимые составляющие химических веществ, то бесконечно малые величины – своего рода неделимые составляющие пространства и времени.

Вместе с математическим анализом Ньютон изобрел математику изменения. В особенности применительно к движению изощренное понимание мгновенной скорости он предложил культуре, где лишь недавно придумали способ измерять скорость: бросать прикрепленную к лагу веревку, на которой завязаны узлы, за корму и считать, сколько узлов ушло за борт за единицу времени. Впервые появился смысл в понятии скорости тела – или же в изменении чего угодно – в заданный момент времени.

Ныне математический анализ применяется для описания каких угодно изменений – обтекание крыльев самолета воздухом, рост населения, перемены в климатических системах, подъемы и падения биржевых показателей, ход химических реакций. В любом деле, где можно графически отразить количество, в любой области науки, математический анализ – ключевой инструмент [196] Вообще говоря, рост населения и биржевые цены – дискретные, а не непрерывные количества, и математический анализ на них не распространяется, однако показатели в этих системах часто аппроксимируют как непрерывные. .

Математический анализ позволил Ньютону соотнести приложенную к телу силу в любой момент времени с изменением скорости в этот же момент. Более того, постепенно прояснилось, как сложить все бесконечно малые изменения скорости и вывести из этого траекторию тела как функцию от времени. Но этим законам и методам пришлось подождать открытия еще несколько десятилетий.