Бертран Мейер - Основы объектно-ориентированного программирования

Это правило и доказательство его корректности также используют индукцию по уровню вложенности. Пусть n - это уровень вложенности s . Если n=0 , то s может быть только new , поскольку остальные функции требуют аргументов и, следовательно, содержат хоть одну пару скобок. Тогда для обеих функций-запросов ситуация ясна:

[x]. empty (new) корректно и имеет значение истина (true)(по аксиоме A3);

[x]. item (new) некорректно, так как предусловие item требует выполнения not empty (s) .

Индукционный шаг: предположим, что s имеет уровень вложенности n не менее 1. Если у какого-либо подвыражения u выражения s внешняя функция есть item или empty , то уровень вложенности u не превосходит n-1 , что по предположению индукции позволяет определить корректность u и, если u корректно, получить его значение, применяя аксиомы. Выполнив замены всех таких подвыражений, получим для s эквивалентную форму, в которую входят только функции put , remove и new .

Далее используем идею введенной выше канонической формы, чтобы избавиться от всех вхождений remove , так что результирующая форма для s будет включать только функции put и new . Случай, когда s это просто new уже был рассмотрен, остался случай, когда s имеет вид put(s', x) . В этом случае для двух рассматриваемых выражений имеем:

[x]. empty (s) корректно и по аксиоме A3 значение этого выражения есть ложь ( false);

[x]. item (s) корректно, так как предусловие not empty (s) для item выполнено; из аксиомы A1 следует, что значение этого выражения равно x .

Это завершает доказательство достаточной полноты, так как мы показали справедливость множества правил - правила корректного веса и правила канонического сокращения, позволяющего нам выяснять корректность заданного стекового выражения, а для корректного выражения-запроса - определять его значение в терминах значений типов BOOLEAN и G .

[x].Теория абстрактных типов данных (АТД) примиряет необходимость в точности и полноте спецификаций с желанием избежать лишних деталей в спецификации.

[x].Спецификация абстрактного типа данных является формальным математическим описанием, а не текстом программы. Она аппликативна, т.е. не включает в явном виде изменений.

[x].АТД может быть родовым, и он задается функциями, аксиомами и предусловиями. Аксиомы и предусловия выражают семантику данного типа и важны для полного и однозначного его описания.

[x].Частичные функции образуют удобную математическую модель для описания не всюду определенных операций. У каждой частичной функции имеется предусловие, задающее условие, при котором она будет выдавать результат для заданного конкретного аргумента.

[x].ОО-система - это совокупность классов. Каждый класс основан на некотором абстрактном типе данных и задает частичную или полную реализацию этого АТД.

[x].Класс является эффективным, если он полностью реализован, в противном случае он называется отложенным.

[x].Классы должны разрабатываться в наиболее общем виде, допускающем повторное использование; процесс их объединения в систему часто идет снизу-вверх.

[x].Абстрактные типы данных являются скорее неявными, чем явными описаниями. Эта неявность, которая также означает открытость, переносится на весь ОО-метод.

[x].Не существует формального определения интуитивно ясного понятия "полноты" спецификации абстрактного типа данных. Строго определяемое понятие достаточнойполноты как правило обеспечивает удовлетворительный ответ. Хотя не существует метода, устанавливающего достаточную полноту произвольной спецификации, часто удается ее доказать для конкретных спецификаций; приведенное в этой лекции доказательство достаточной полноты для спецификации стеков может служить образцом и для других случаев.

Несколько работ, опубликованных в начале 1970-х, сделали возможным появление абстрактных типов данных. Среди них наиболее известны статья Хоара о "доказательстве корректности представлений данных" [Hoare 1972a], в которой было введено понятие абстракции функций, и работа Парнаса по скрытию информации, отмеченная в библиографических заметках к лекции 3.