Ю Венина: Веселим гостей

Любая группа из шести человек состоит или из трех общих знакомых, или из трех общих незнакомцев. Докажите это.

Ответ: Возьмем человека Х. Из пяти других людей должны иметься или, по крайней мере, три знакомых X, или, по крайней мере, три незнакомца для X. Допустим, что X имеет трех незнакомцев А, В, C. Если A, B, C – не требуемая триада знакомых, они должны включить пару незнакомцев, например A и B. Тогда X, A, B – требуемая триада незнакомцев.

Вы хотите послать другу ценный предмет. У вас есть коробка, которая больше, чем сам предмет. У вас есть несколько замков с ключами. У коробки есть кольцо (петли), которое больше, чем было бы достаточно для замка. Но у вашего друга нет ключей ни от одного вашего замка. Что же делать?

Замечание: Вы не можете послать ключ в незапертой коробке, так как его могут скопировать.

Ответ: Положите предмет в коробку и закройте ее на замок. Пошлите коробку другу. Друг закрывает коробку еще и на свой замок и посылает коробку вам. Вы открываете свой замок и посылаете коробку другу. Он открывает свой замок.

Две коробочки помечены А и В. Надпись на коробочке А гласит: «Надпись на коробочке B верна и золото в коробочке А». Надпись на коробочке B гласит «Надпись на коробочке А не верна и золото в коробочке А». Предполагая, что в одной из коробочек лежит золото, скажите, в какой именно.

Ответ: Решения, казалось бы, не существует. Если надпись на коробочке А правдива, то правдива и надпись на коробочке В, но там сказано, что надпись на А – ложна. Если же надпись на А – ложна, значит, ложна надпись и на В, но тогда должна быть правдива надпись на А.

Если же рассматривать «и» в условии как логическое, то решение у головоломки появится, так как ложная надпись «Утверждение 1 И утверждение 2» предполагает наличие хотя бы одного неверного утверждения. Золото находится в коробочке B, надписи на обеих коробочках ложны.

Докажите, что в Москве есть как минимум два человека с одинаковым количеством волос на голове, если известно, что максимальное количество волос у человека – 100 000.

Ответ: Работает принцип Дирихле, так как число всех людей в Москве значительно больше 100 000. К тому же хотя бы два лысых человека в Москве точно есть.

В некоторой стране есть два города. В одном из них живут только люди, которые всегда говорят правду, в другом – только те, кто всегда лжет. Все они ходят друг к другу в гости, то есть в любом из этих двух городов можно встретить как честного человека, так и лжеца. Предположим, вы оказались в одном из этих городов. Как, задав один-единственный вопрос первому встречному, определить, в какой город вы попали – в город честных или в город лжецов?

Ответ: «Вы находитесь в своем городе?» Ответ «да» всегда будет означать, что вы в городе честных, кто бы вам ни попался.

Допустим, что вы – узник, которому вдруг предоставлено право выйти на свободу, но только в том случае, если справитесь с таким заданием: перед вами две двери, одна из них ведет на волю, другая – дорога к смерти. Сидят два стражника, причем один из них – лгун, а второй всегда говорит правду. Вы не знаете, кто из них кто. Вы должны, задав лишь один вопрос одному из стражников, определить дорогу на свободу. Какой вопрос вы зададите?

Ответ: Существует бесконечное множество решений, однако наиболее красивы из них три:

– Показав на конкретную дверь: «Твой товарищ сказал бы, что ЭТА дверь ведет на свободу?» Ответ «да» означает, что это дверь НЕ ведет на свободу.

– «Перед дверью, ведущей на свободу, сидит стражник, говорящий правду?» Ответ «да» означает, что нужно войти в ту дверь, возле которой сидит стражник, которому вы задали вопрос.

– Показав на конкретную дверь: «Если бы я спросил тебя, ведет ли ЭТА дверь на свободу, что бы ты ответил?» Ответ «да» означает, что эта дверь ведет на свободу. Этот ответ подходит даже тогда, когда нет никакого второго стражника.

Пока трое мудрецов спали под деревом, озорной ребенок покрасил их головы в красный цвет. Проснувшись, каждый мудрец обнаружил дело рук ребенка на головах своих друзей. Естественно, они начали смеяться. Внезапно один замолчал. Почему?

Ответ: Мудрец перестал смеяться потому, что понял, что его голова тоже раскрашена. Этому предшествовали следующие мысли. Допустим, головы покрашены только у двоих других мудрецов, но тогда вскоре один из них поймет, что его голова раскрашена, ведь если бы это было не так, то мудрецу с ракрашенной головой не было бы, над чем смеяться. Но мудрецы не перестают смеяться, значит, мое допущение неверно, и моя голова тоже раскрашена.