Дарья Нестерова - Энциклопедия лучших игр со словами и цифрами

Подсказка

Попробуйте решать задачу с конца. Для этого рассмотрите текущее число (первоначальное или только что названное соперником), на которое нужно назвать свое число.

Однозначные числа всегда проигрышны, поскольку нельзя сделать ход по правилам. А вот числа от 10 до 18 – выигрышны, так как можно назвать однозначное число. Проигрышным является и число 19, поскольку приходится называть число от 10 до 18, и соперник выигрывает.

Решение

Рассмотрим текущее число (первоначальное или только что названное соперником), на которое нужно назвать свое число.

Как уже отмечалось выше, однозначные числа являются проигрышными, поскольку нельзя сделать ход по правилам, а числа от 10 до 18 выигрышны, так как можно назвать однозначное число. Число 19 тоже проигрышное.

Выигрышными являются числа от 20 до 298 (можно назвать число 19), а число 299 проигрышное (наименьшее число, имеющее сумму цифр 19 + 1, – это 20). Следующим проигрышным числом является то, что определяется как наименьшее, имеющее сумму цифр 299 + 1, то есть 300.

Учитывая все отмеченное выше, чтобы выиграть, нужно назвать числа 299, 19 или 9. В этом случае соперник не выиграет.

Суперкрестики-нолики

Вы знаете простую игру в крестики-нолики? Если да, то вы без труда освоите и ее усложненный вариант. Прежде чем начать игру, вам следует начертить на листке бумаги в клетку поле 5 ? 5.

На игровом поле игроки ставят по очереди в любую клетку крестик или нолик.

Тот, кому удалось поставить три одинаковых знака в ряд (по горизонтали, вертикали или диагонали), побеждает.

Если это не удалось никому из игроков, игра считается сыгранной в ничью.

Бесконечная игра

Это достаточно сложная игра, больше подходящая для проведения математических олимпиад. Однако, если вы обладаете незаурядными математическими способностями и можете найти достойного соперника, вы интересно и с пользой проведете время.

Условие

Игроки ходят по очереди. Один называет два числа, являющиеся концами отрезка. Соперник называет два других числа, являющиеся концами отрезка, вложенного в предыдущий. Игра может продолжаться бесконечно долго.

Первый игрок стремится, чтобы в пересечении всех названных отрезков было хотя бы одно рациональное число, а противник старается ему помешать.

Решение

Чтобы выиграть в этой игре, следует соблюдать правильную стратегию. Первым своим ходом необходимо выбрать такой отрезок, чтобы в нем не было ни одной целой точки вида g/2, где g – целое число.

Соблюдая такую стратегию, на n-ом ходу следует выбрать такой отрезок, чтобы в нем не было ни одной точки вида g/n, где g – целое число. При любой игре соперника вы можете выбирать отрезки согласно изложенным выше правилам.

А теперь попробуем доказать, что в пересечении всех названных отрезков не может быть ни одного рационального числа. Итак, пусть рациональное число s/d (для некоторого целого числа s и натурального числа d) лежит в пересечении всех отрезков. Но это противоречит тому, что игрок на d-ом ходу назвал отрезок, не содержащий рациональных чисел, представленных в виде дроби со знаменателем d.

Синие и зеленые точки

Эта игра довольно сложная. В нее следует играть вдвоем. Для игры потребуется лист бумаги, а также ручки с синим и зеленым стержнями.

Условие

Игроки ходят по очереди. Первый ставит на листе бумаги зеленую точку, второй ставит на свободные места 10 синих точек. После этого первый игрок опять ставит на свободное место зеленую точку, второй ставит на свободные места 10 синих точек и т. д.

Первый игрок считается победителем, если 3 зеленые точки образуют правильный треугольник. Если второй ему помешает, то, соответственно, выигрывает он.

Решение

Предположим, первый игрок ставит точки на одной прямой, заботясь только о том, чтобы не попасть в уже поставленную точку (это всегда возможно, поскольку на прямой бесконечно много точек).

Если уже поставлено s зеленых точек на прямой, прибавление еще одной точки на этой прямой только увеличивает количество мест, на которые можно поставить зеленую точку так, чтобы с уже поставленными она образовала правильный треугольник.