Яков Перельман - Развлечения со спичками

Итак, пусть число спичек в куче а , а наибольшая взятка, какая разрешается условиями игры — n . Выигрывает тот, кто берет последнюю спичку. Составим частное:

a/ (n+ 1)

Если оно не дает остатка, то надо предоставить начинать игру своему партнеру и брать каждый раз столько, чтобы общее число спичек, взятых обоими от начала игры, последовательно равнялось

n+ 1; 2(n+ 1); 3(n+ 1); 4(n+ 1) и т. д.

Если же при делении — a/ (n+ 1) получается остаток, который обозначим через r , то вы должны начать игру сами и в первый раз взять r спичек, а в дальнейшем держаться чисел:

r+ (n+ 1); r+ 2(n+ 1); r+ 3(n+ 1) и т. д.

Ради упражнения попробуйте применить указанные правила к следующим частным случаям (выигравшим считается взявший последнюю спичку):

1) число спичек в кучке 15; взятка — не свыше 3;

2) число спичек 25; взятка не свыше 4;

3) число спичек 30; взятка не свыше 6;

4) то же, но взятка — не свыше 7.

Разумеется, когда секрет беспроигрышной игры известен обоим партнерам, то выигрыш предрешен, и игра утрачивает смысл.

Задача 26-я

В этой игре также начинают с составления кучки (из 27 спичек) и назначают наибольший размер взятки 4 спички. Но конец игры непохож на конец предыдущих игр: здесь считается выигравшим тот, у кого по окончании игры окажется четное число спичек.

И в этом случае существует секрет беспроигрышной игры. Какой?

Решение

Начав рассчитывать с конца, вы найдете следующий способ беспроигрышной игры: если у вас уже имеется нечетное число спичек, то при дальнейших взятках вы должны оставлять противнику всякий раз такое число спичек, которое на 1 меньше кратного [4] Число называется "кратным" другого числа, если делится на него без остатка. Напр., число 18 кратно 6, число 35 кратно 7, число 100 кратно 25. 6 — т.-е. 5 спичек, 11, 17, 23. Если же у вас взято четное число спичек, то вы берете взятки с таким расчетом, чтобы на столе оставалось число кратное 6-ти или на 1 больше, т. — е 6 или 7, 12 или 13, 18 или 19, 24 или 25.

Владея этим секретом, вы можете выиграть, даже если и не вы начали игру. Когда же начинать приходится вам, то считайте, что у вас взято 0 спичек: нуль принимайте за число четное (ведь за ним следует нечетное число — один) и поступайте согласно указанным правилам.

Интересно еще рассмотреть вопрос о беспроигрышной игре, если условие конца игры было другое: выигрывает тот, у кого нечетное число спичек. В этом случае указанные раньше правила нужно применять наоборот: при четном числе имеющихся у вас спичек оставлять противнику на 1 меньше кратного 6-ти, при нечетном числе — кратное 6-ти или на 1 больше. Начиная игру, вы оставляете противнику в этом случае 23 спички.

Эта старинная игра представляет собою усложненное видоизменение предыдущих. На стол кладут три кучки спичек; в каждой кучке может быть любое число спичек, но не больше 7-ми (одна спичка тоже называется в этой игре «кучкой"). Игра состоит в том, что играющие берут по очереди из одной кучки любое число спичек (можно и все взять), но только из одной какой-нибудь кучки, по желанию берущего.

Кто возьмет последнюю спичку со стола, тот считается выигравшим.

Рассмотрим пример. Первоначальное распределение спичек по кучкам, предположим, таково:

Затем, по мере того, как играющие поочередно берут то из одной, то из другой кучки несколько спичек, последовательные изменения в числе спичек будут такие:

Кто возьмет эту последнюю спичку, тот выигрывает.

Здесь также существует секрет беспроигрышной игры. Доискаться его самому вам едва ли удастся (теория "нима" очень сложна); поэтому мы сообщим его, хотя и без обоснования. Надо играть так, чтобы после вашего хода на столе оставалась одна из следующих семи комбинаций спичек:

Числа подобраны так, что, каково бы ни было первоначальное расположение, всегда возможно привести его к одному из сейчас указанных отнятием спичек из одной кучки. Необходимо только указать еще, что делать, если число спичек и одной из кучек сделалось равным нулю, т.-е. если кучка исчезла.

Тогда надо взять столько спичек, чтобы обе оставшиеся кучки уравнялись по числу спичек. Играя по этим правилам, вы непременно выиграете, т.-е. возьмете последнюю спичку. Например, в сейчас рассмотренном случае, если бы первый ход был ваш, вы должны были бы вести игру так: