Валентин Бажанов - Николай Александрович Васильев (1880—1940)

Введение нового класса индифферентных суждений сопровождалось у Н. А. Васильева последовательной и обстоятельной критикой закона исключенного третьего, непосредственно связанного с отказом от принципа двузначности логических суждений, причем им различаются «определенно-числовые суждения» от «неопределенно-числовых суждений». Это придает его работам содержание, которое справедливо расценивается как предвосхищение ряда положений не только интуиционистской, но и конструктивной логики [92]. Как раз на это содержание обратил внимание академик Н. Н. Лузин. Критика закона исключенного третьего проводилась Н. А. Васильевым почти одновременно с родоначальником интуиционизма Л. Э. Я. Брауэром и уж, разумеется, совершенно независимо от него. Однако идеи Брауэра в дальнейшем имели более счастливую судьбу.

А. И. Мальцев, естественно, не мог быть информирован о том, что начаты исследования формальных систем, толерантных к противоречию, известных ныне как паранепротиворечивые. А между тем, по мнению Н. А. Васильева, воображаемая логика представляла собой именно такую систему. «Возможно, еще с большим основанием, чем в случае многозначных логик, Н. А. Васильев может считаться предшественником неклассических логик, построенных для исследования противоречивых, но нетривиальных теорий», — подчеркивала Аида Арруда, активно пропагандировавшая идеи Н. А. Васильева и внесшая крупный вклад в развитие паранепротиворечивых логик [99, с. 4] (см. также: [107, с. 5]).

Мнение А. И. Арруды о том, что Н. А. Васильев «еще с большим основанием», чем в случае многозначных логик, должен считаться основателем паранепротиворечивых логик, обосновано тем обстоятельством, что центральный пункт воображаемой логики — это отказ от закона противоречия, находящегося в самом ядре развития логических традиций Аристотеля, а именно данное положение выражает и суть паранепротиворечивых систем. В этих системах А и не-А могут одновременно иметь статус теорем, и их конъюнкция, значит, тоже теорема. Освобождая логику от закона противоречия, Н. А. Васильев осознавал, что в результате открывается перспектива создать в высшей степени оригинальные с классической точки зрения логические системы. И хотя автор воображаемой логики утверждал, что «каждому пункту нашей (т. е. аристотелевой. — В. В.) логики соответствует определенный пункт» воображаемой логики, содержание каждого из соответствующих «пунктов», конечно же, оказалось весьма различным. Так и паранепротиворечивая логика, и математика, развитие которых по историческим меркам можно сопоставить с порой младенчества, достаточно существенно отличаются от привычных нам логики и математики не только по своим результатам и концептуальной базе, но и по нормам рассуждений, доказательств и, вероятно, даже по канонам строгости. Уже построен ряд систем в паранепротиворечивой теории множеств, делаются шаги на пути создания паранепротиворечивой теории моделей, алгебраических структур, арифметики, ведутся исследования различных паранепротиворечивых логик, в том числе модальных и временных, причем одна серия паранепротиворечивых формальных систем получила название Васильевских {6}. Кроме того, расширяется поле приложений новой концепции, в рамках которой имеется серьезная надежда формализовать наивную теорию множеств, ньютоно-лейбницеву версию математического анализа, ранние варианты квантовой механики и другие противоречивые, содержащие антиномии теории.

Страница одной из современных работ, посвященных анализу логики Н. А. Васильева

Сторонники паранепротиворечивой логики говорят даже о формализации некоторых «урезанных» фрагментов диалектического мышления. Главная привлекательность (и вместе с тем необычность) паранепротиворечивых систем заключается в возможности их использования для формализации такого рода ситуаций, в которых стандартные методы классической математики порождают теории, неизбежно сопровождаемые парадоксами, антиномиями.

Говоря о паранепротиворечивой математике и логике, нельзя не упомянуть о том, что во многом благодаря их развитию среди ученых западных стран наблюдается дальнейший отход от философских взглядов позитивизма и своего рода «открытие» диалектики. Как известно, позитивизм считает диалектику несостоятельной потому, что в диалектике признается существование истинных противоречий, а наличие противоречия в теории якобы тривилизирует ее в силу разрушительного действия логического закона Дунса Скотта («из противоречия следует все что угодно»). Подобный аргумент, в частности, неоднократно выдвигал К. Поппер, чем пытался обосновать свое неприятие диалектического способа мышления. Этот же аргумент, кстати, был положен К. Поппером в основу крайне низкой умозрительной оценки возможностей паранепротиворечивой логики. «Удивительно, — писал Н. Да Коста, — что философ может так же настаивать на своем мнении относительно возможностей паранепротиворечивой логики, как в этом упорствовал Поппер. В действительности. . . существуют паранепротиворечивые системы, значительно более сильные, чем классические. . . Можно с соответствующими оговорками выдвинуть положение, что диалектика не поддается критике с логической точки зрения» [55, с. 124]. В настоящее время среди западных ученых, в первую очередь среди логиков и математиков, укрепляется мнение, что попытки отвергнуть диалектику отражают «реакционные и отсталые тенденции», а создание паранепротиворечивых систем сыграло роль «спускового механизма для изучения диалектики» [107, с. 16].